文档介绍：高等数学上册总结高数重点知识总结 1、基本初等函数:反函数(y=arctanx),对数函数(y=lnx),幂函数(y=x),指数函数(y?ax),三角函数(y=sinx),常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。 x2?xx ?lim?13、无穷小:高阶+低阶=低阶例如:lim x?0x?0xx sinx 4、两个重要极限:(1)lim?1 x?0x (2)lim?1?x?e x?0 1 x ?1? lim?1???ex?? ?x? g(x) x 经验公式:当x?x0,f(x)?0,g(x)??,lim?1?f(x)? x?x0 ?e x?x0 limf(x)g(x) 例如:lim?1?3x?e x?0 1 x x?0? ?3x?lim??? x? ?e?3 5、可导必定连续,连续未必可导。例如:y?|x|连续但不可导。6、导数的定义:lim ?x?0 f(x??x)?f(x) ?f'(x) ?x x?x0 lim f(x)?f(x0) ?f'?x0? x?x0 7、复合函数求导: df?g(x)??f'?g(x)??g'(x)dx 例如:y?x?x,y'? 2x?2x?12x?x4x2?xx 1? 1 8、隐函数求导:(1)直接求导法;(2)方程两边同时微分,再求出dy/dx x2?y2?1 例如:解:法(1),左右两边同时求导,2x?2yy'?0?y'?? x ydyx 法(2),左右两边同时微分,2xdx?2ydy??? dxy 9、由参数方程所确定的函数求导:若? ?y?g(t)dydy/dtg'(t)??,则,其二阶导数:dxdx/dth'(t)?x?h(t) d(dy/dx)d?g'(t)/h'(t)? dyd?dy/dx????2dxdxdx/dth'(t) 2 10、微分的近似计算:f(x0??x)?f(x0)??x?f'(x0)例如:计算sin31? 11、函数间断点的类型:(1)第一类:可去间断点和跳跃间断点;例如:y? sinx ,y?sgn(x)(2)第二类:振荡间断点和无穷间断点;例如:f(x)?sin??,y?断点) 12、渐近线: 水平渐近线:y?limf(x)?c x?? ?1??x? 1 19、改变凹凸性的点:f"(x0)?0,f''(x0)不存在 20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点。21、中值定理: (1)罗尔定理:f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,则至少存在一点?,使得f'(?)?0(2)拉格朗日中值定理:f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,则至少存在一点?,使得 f(b)?f(a)?(b?a)f'(?) (3)积分中值定理:f(x)在区间[a,b]上可积,至少存在一点?,使得 b ?f(x)dx?(b?a)f(?) a 22、常用的等价无穷小代换: x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex?1~2(?x?1)~ln(1?x)1?cosx~ 12x2111 tanx?sinx~x3,x?sinx~x3,tanx?x~x3 263 23、对数求导法:例如,y?xx,解:lny?xlnx? 1 y'?lnx?1?y'?xx?lnx?1?y 24、洛必达法则:适用于“ 0?”型,“”型,“0??”型等。当0? x?x0,f(x)?0/?,g(x)?0/?,f'(x),g'(x)皆存在,且g'(x)?0,则 f(x)f'(x)ex?sinx?10ex?cosx0ex?sinx1 lim?lim例如,limlimlim?2x?x0g(x)x?x0g'(x)x?0x?0x?0x2x22 25、无穷大:高阶+低阶=高阶例如,26、不定积分的求法(1)公式法(2)第一类换元法(3)第二类换元法:哪里复杂换哪里,常用的换元:1)三角换元: 23 ?x?1??2x?3?lim? x??? 2x5 x2?2x?lim?4 x???2x5 3 a2?x2,可令 x?asint;x2?a2,可令x?atant;x2?a2,可令x?asect2)当有理分式函数中分母的阶较高时,常采用倒代换x? 1 t 27、分部积分法:udv?uv?vdu,选取u的规则“反对幂指三”,剩下的作v。分部积 x3 分出现循环形式的情况,例如:ecosxdx,secxdx ?? ?? 28、有理函数的积分: 例如: 3x?22(x?1)?x11 dx??2dx??x(x?1)3?x(x?1)3?x(x?1)2?x?13dx 11x?1?xx?1?x1dx???需要进行拆分,令?x(x?1)2 x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)(x?1)2 其中,前部分? 111??2xx?1(x?1) 29、定积分的定义: ?f(?)?x?f(x)dx?lim? a ?