文档介绍：第六章谱分析SpectralAnalysis到目前为止,时刻变量的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式,一般的模型形式为:我们研究的重点在于,这个结构对不同时点和上的变量和的协方差具有什么样的启示。这种方法被称为在时间域(timedomain)上分析时间序列的性质。个人收集整理勿做商业用途在本章中,我们讨论如何利用型如和的周期函数的加权组合来描述时间序列数值的方法,这里表示特定的频率,表示形式为:个人收集整理勿做商业用途上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列性质时所发挥的重要程度如何。如此方法被称为频域分析(frequencydomainanalysis)或者谱分析(spectralanalysis)。我们将要看到,时域分析和频域分析之间不是相互排斥的,任何协方差平稳过程既有时域表示,也有频域表示,由一种表示可以描述的任何数据性质,都可以利用另一种表示来加以体现。对某些性质来说,时域表示可能简单一些;而对另外一些性质,可能频域表示更为简单。个人收集整理勿做商业用途§,然后讨论它的性质。,第个自协方差为:假设这些自协方差函数是绝对可加的,则自协方差生成函数为:这里表示复变量。将上述函数除以,并将复数表示成为指数虚数形式,,则得到的结果(表达式)称为变量的母体谱:个人收集整理勿做商业用途注意到谱是的函数:给定任何特定的值和自协方差的序列,原则上都可以计算的数值。利用DeMoivre定理,我们可以将表示成为:因此,谱函数可以等价地表示成为:注意到对于协方差平稳过程而言,有:,因此上述谱函数化简为:利用三角函数的奇偶性,可以得到:假设自协方差序列是绝对可加的,则可以证明上述谱函数存在,并且是的实值、对称、连续函数。由于对任意,有:,因此是周期函数,如果我们知道了内的所有的值,我们可以获得任意时的值。个人收集整理勿做商业用途§:这里:,,根据前面关于过程自协方差生成函数的推导:因此得到过程的母体谱为:例如,对白噪声过程而言,,这时它的母体谱函数是常数:下面我们考虑过程,此时:,则母体谱为:可以化简成为:显然,当时,谱函数在内是的单调递减函数;当时,谱函数在内是的单调递增函数。对过程而言,有:这时只要,则有:,因此谱函数为:该谱函数的性质为:当时,谱函数在内是的单调递增函数;当时,谱函数在内是的单调递减函数。一般地,对过程而言:则母体谱函数为:如果移动平均和自回归算子多项式可以进行下述因式分解:则母体谱函数可以表示为:从母体谱函数中计算自协方差如果我们知道了自协方差序列,原则上我们就可以计算出任意的谱函数的数值。反过来也是对的:如果对所有在内的,已知谱函数的数值,则对任意给定的整数k,我们也能够计算k阶自协方差。这意味着母体谱函数和自协方差序列包含着相同的信息。其中任何一个都无法为我们提供另外一个无法给出的推断。个人收集整理勿做商业用途下面的命题为从谱函数计算自协方差提供了一个有用的公式:,则母体谱函数与自协方差之间的关系为:上述公式也可以等价地表示为:利用上述谱公式,可以实现谱函数与自协方差函数之间的转换。解释母体谱函数假设,,即,计算