时间序列分析方法谱分析.pdf

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到目前为止,t时刻变量Y的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函
数形式,一般的模型形式为:t
我们研究的重点在于,这个结构对不同时点t和上的变量Y和Y的协方
差具有什么样的启示。这种方法被称为在时间域(timedomain)上分析时间t
序列{Y}的性质。
t
在本章中,我们讨论如何利用型如cos(t)和sin(t)的周期函数的加权组合
来描述时间序列Y数值的方法,这里表示特定的频率,表示形式为:
t
上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列{Y}性质时
所发挥的重要程度如何。如此方法被称为频域分析(frequencytdomain
analysis)或者谱分析(spectralanalysis)。我们将要看到,时域分析和频
域分析之间不是相互排斥的,任何协方差平稳过程既有时域表示,也有频域
表示,由一种表示可以描述的任何数据性质,都可以利用另一种表示来加以
体现。对某性质来些说,时域表示可能简单一些;而对另外一性质,可些能
频域表示更为简单。
§
我们首先介绍母体谱,然后讨论它的性质。

假设{Y}是一个具有均值的协方差平稳过程,第j个自协方差为:
t
假设这些自协方差函数是绝对可加的,则自协方差生成函数为:
这里z表示复变量。将上述函数除以2,并将复数z表示成为指数虚数
形式zexp(i),i1,则得到的结果(表达式)称为变量Y的母体谱:
注意到谱是的函数:给定任何特定的值和自协方差的序列{},
jj
原则上都可以计算s()的数值。
Y
利用DeMoivre定理,我们可以将eij表示成为:
因此,谱函数可以等价地表示成为:
注意到对于协方差平稳过程而言,有:,因此上述谱函数化简为:
jj
利用三角函数的奇偶性,可以得到:
假设自协方差序列{}是绝对可加的,则可以证明上述谱函数s()存
jY
在,并且是的实值、对称、连续函数。由于对任意2k,有:s(2k)s(),
YY
因此s()是周期函数,如果我们知道了[0,]内的所有s()的值,我们可以获
YY
得任意时的s()值。
Y
§
假设随机过程{Y}服从MA()过程:
t
这里:
2,st
(L)Lj,||,E()
jjts0,st
j0j0
根据前面关于MA()过程自协方差生成函数的推导:
因此得到MA()过程的母体谱为:
例如,对白噪声过程而言,(z)1,这时它的母体谱函数是常数:
下面我们考虑MA(1)过程,
此时:(z)1z,则母体谱为:
可以化简成为:
显然,当0时,谱函数s()在[0,]内是的单调递减函数;当0时,
Y
谱函数s()在[0,]内是的单调递增函数。
Y
对AR(1)过程而言,有:
这时只要||1,则有:(z)1/(1z),因此谱函数为:
该谱函数的性质为:当0时,谱函数s()在[0,]内是的单调递增函
Y
数;当0时,谱函数s()在[0,]内是的单调递减函数。
Y
一般地,对ARMA(p,q)过程而言:
则母体谱函数为:
如果移动平均和自回归算子多项式可以进行下述因式分解:
则母体谱函数可以表示为:
从母体谱函数中计算自协方差
如果我们知道了自协方差序列{},原则上我们就可以计算出任意的
j
谱函数s()的数值。反过来也是对的:如果对所有在[0,]内的,已知谱函
Y
数s()的数值,则对任意给定的整数k,我们也能够计算k阶自协方差。
Yk
这意味着母体谱函数s()和自协方差序列{}包含着相同的信息。其中任
Yj
一何个都无法为我们提供另外一个无法给出的推断。
下面的命题为从谱函数计算自协方差提供了一个有用的公式:
{}是绝对可加的自协方差序列,则母体谱函数与自协
j
方差之间的关系为:
上述公式也可以等价地表示为:
利用上述谱公式,可以实现谱函数与自协方差函数之间的转换。
解释母体谱函数
假设k0,,即,计算公式
0
为:
根据定积分的几何意义,上式说明母体谱函数在区间[,]内的面积就是
,也就是过程的方差。
0
更一般的,由于谱函数s()是非负的,对任意[0,],如果我们能够计
Y1
算:
这个积分结果也是一个正的数值,可以解释为Y的方差中与频率的绝对
t
值小于的成分相关的部分。注意到谱函数也是对称的,因此也可以表示为:
1
这个积分表示频率小于的随机成分对Y方差的贡献。
1t
但是,频率小于的随机成分对Y方差的贡献意味着什么?为了探索这
1t
个问题,我们考虑更为特殊一些的时间序列模型:
这里和是零均值的随机变量,这意味着对所有时间t,有EY0。进
jjt
一步假设序列{}M和{}M是序列不相关和相互不相关的:
jj1jj1
2,jk2,jk
E()j,E()j
jkjk
0,jk0,jk
E()0,对所有的j和k
jk
这时Y的方差是:
t
因此,对这个过程来说,具有频率的周期成分对Y的方差的贡献部分
jt
是2。如果频率是有顺序的:0,则Y的方差中由频率小
j12Mt
于或者等于的周期形成的部分是:222。
j12j
这种情形下Y的k阶自协方差为:
t
因为过程{Y}的均值和自协方差函数都不是时间的函数,因此这个过程是
t
协方差平稳过程。但是,可以验证此时的自协方差序列{}不是绝对可加
kk0
的。
虽然在上述过程中,我们已经过程的方差分解为频率低于某种程度的周
期成分的贡献,我们能够这样做的原因在于这个过程是比较特殊的。对于一
般的情形,着名的谱表示定理(thespectralrepresentationtheorem)说
明:任何协方差平稳过程都可以表示成为不同频率周期成分的和形式。
对任意给定的固定频率[0,],我们定义随机变量()和(),并假设
可以将一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程表示为:
这里需要对随机变量()和()的相关性给出更为具体的假设,但是上述
公式便是谱表示定理的一形般式。
§
对一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程{Y},我们已经定义在频
t
率处的谱函数值为:
11
s()g(ei)eij,E[(Y)(Y)]
Y2Y2jjttj
j
注意到母体谱是利用{}表示的,而{}表示的是母体的二阶矩性质。
jj0jj0
给定由y,y,,y表示的T个样本,我们可以利用下述公式计算直到(T1)
12T
阶的样本自协方差:
T
1
(Tj)(yy)(yy),j0,1,,T11T
ˆttj,yy
jtj1Tt
ˆ,j1,2,,T1t1
j
对于给定的,我们可以获得母体谱密度对应的样本情形,我们称其为
样本周期图:
样本周期图也可以表示成为如下形式:
类似地,我们可以证明样本周期图下的面积等于样本方差:
样本周期图也是关于原点对称的,因此也有:
更为重要的是,谱表示定理在样本情形也有类似的表示。我们将要说明,
对于平稳过程的任意一个容量为T的观测值序列y,y,,y,存在频率
12T
,,,和系数ˆ,ˆ,ˆ,,ˆ,ˆ,ˆ,,ˆ使得t期的y值可以表示成为:
12M12M12M
其中:
当jk时,ˆcos[(t1)]与ˆcos[(t1)]不相关;
jjkk
当jk时,ˆsin[(t1)]与ˆsin[(t1)]不相关;
jjkk
对于所有的j和k,ˆcos[(t1)]与ˆsin[(t1)]不相关。
jjkk
y的样本方差是T1T(yy)2,该方差中可以归因于频率为的周期成分
t1tj
的部分由样本周期图s()给出。
Yj
我们对样本容量是奇数的情形展开讨论上述谱表示模式。这时y可以表
t
示成为由M(T1)/2个不同频率构成的周期函数,频率,,,如下:
12M
242M
,,……,
1T2TMT
因此最高频率为:
我们考虑y基于常数项、正弦函数和余弦函数的线性回归:
t
将这个回归方程表示成为下述方式:
其中:x{1,cos[(t1)],sin[(t1)],L,cos[(t1)],sin[(t1)]},这是一个
t11MM
具有(2M1)T个解释变量的回归方程,因此解释变量与观测值是一样多的。
我们将证明解释变量之间是线性无关的,这意味着y基于x回归的OLS估计
tt
具有惟一解。该回归方程的系数具有显着的统计意义:(ˆ2ˆ2)/2表示y中
jjt
可以归因于频率的周期成分的那部分。这就是说,任意观测到的序列
j
y,y,,y,它都可以利用上述周期函数形式表示,并且不同频率的周期成分
12T
对方差的贡献都可以在样本周期图中找到。
,定义M(T1)/2,并设定2i/T,
j
j1,2,,M,假设解释变量为:
则有:
进一步,假设y,y,,y是任意T个实数,则下述推断成立:
12T
(a)过程y可以表示为:
t
这里:
2T2T
ˆy,ˆycos[(t1)],ˆysin[(t1)]
jTtjjTtj
t1t1
(b)y的样本方差可以表示为:
t
样本方差可以归因于频率为的周期成分的部分为(ˆ2ˆ2)/2。
jjj
(c)y的样本方差中可以归因于频率为的周期成分的部分还可以表示
tj
为:
其中sˆ()是样本周期图在频率处的值。
yjj
T
上述结果说明,xx是对角矩阵,这意味着包含在向量x中的向量之间
ttt
t1
是相互正交的。这个命题断言:任何奇数个观测到的时间序列y,y,,y可以
12T
表示成为一个常数加上具有(T1)/2个不同频率的(T1)个周期成分的加权
和。当T是偶数整数的时候,类似的结果也是成立的。因此,这个命题给出
了类似谱表示定理的有限样本的类似情况。这个命题进一步表明了样本周期
图的特征是将y的方差按部分分解为不同频率的周期成分的贡献。
注意到解释y的方差的频率都落在区间[0,]中。为什么不使用负的频
j
率0?假设数据确实是由上述过程的一种特殊情形成的:生
这里0代表某个特殊的负频率,和是零均值的随机变量,利用三
角函数的奇偶性,可以将Y表示为:
t
因此,利用上述式子无法从数据中识别数据是从正发频率还是负的频率
成的。这时一种生简单的方式是假设数据是从具有正的频率中成的。生
为什么只考虑作为最大的频率呢?假设数据真的是从频率的周
期函数中成的,生例如3/2:
这时正弦和余弦函数的周期性质表明,上式可以表示成为:
因此,根据以前的讨论,具有频率3/2的周期在观测值上等价于具有
频率/2的周期。
注意到频率和周期之间的关系,频率对应的周期为2/。由于我们考
虑的最高频率为,因此我们所观测到的能够自己重复的最短阶段是
2/2。如果3/2,则周期是每4/3阶段重复自己。但是,如果数据是整
数阶段观测的,因此数据可以观测的时间间隔仍然是每4个阶段观测到,这
对应着周期频率是/2。例如,函数cos[(/2)t]和函数cos[(3/2)t]在整数的
时间间隔上,它们的观测值是一致的。
2i/T(j1,2,,M)上的样本周期图的数值
j
提供了方法。定义:
这里:
2T2T
ˆycos[(t1)],ˆysin[(t1)]
jTtjjTtj
t1t1
因此可以得到:
§
上面我们介绍了母体谱的意义和性质,下面我们面对的问题是:获得了
观测样本{y,y,,y}以后,如何估计母体谱函数s()?
12TY
样本周期图的大样本性质
一个显然的方法是利用样本周期图sˆ()去估计母体谱函数s()。但是,
这种方法具有显着的限制。假设对于无限移动平均过程而言:yY
这里系数{}是绝对可加的,{}是具有均值E()0和方差
jj0ttt
var()2的独立同分布序列,假设s()是如上定义的母体谱函数,且对所有
tY
的,都有s()0。假设sˆ()是如上定义的样本谱函数,Fuller(1976)证
Yy
明了,对0和充分大的样本容量T,样本周期图与母体谱函数之比的二倍
具有下述渐近分布:
进一步,如果,也有:
并且上述两个渐近分布的随机变量是相互独立的。
注意到2(n)的均值等于自由度,因此有:
因为s()是母体数量,不是一个随机变量,因此上式也可以表示成为:
Y
因此,对充分大的样本容量,样本周期函数为母体谱提供了一个渐近无
偏估计。
母体谱的参数化估计
假设我们认为数据可以由ARMA(p,q)模型表示:
这里是具有方差2的白噪声。这一个估计母体谱的时出色方法是先利
t
用前面介绍的极大似然估计估计参数,,,,,,,,,2,具有绝对可
12p12q
加自协方差的协方差平稳过程{Y},我们已经定义在频率处的谱函数
t
§
我们利用美国制造业生产的数据来说明谱分析的应用。书中给出了联邦
储备委员会的季节非调整的月度指数,从1947年1月至1989年11月。其
中出现经济衰退的时候出现了生产的下降,大约持续一年左右。数据中出现
了显着的季节成分,大约在7月出现下降,而在8月出现复苏。
。这里显示的sˆ()是j的函数,这
yj
里2j/T。
j