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2009年高考数学难点突破专题辅导二十
难点20 不等式的综合应用
不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一,作为解决问题的工具,:一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题;另一类是建立函数关系,利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法,使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题.
●难点磁场
(★★★★★)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1、x2满足0<x1<x2<.
(1)当x∈[0,x1时,证明x<f(x)<x1;
(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明:x0<.
●案例探究
[例1]用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米,盖子边长为a米,
(1)求a关于h的解析式;
(2)设容器的容积为V立方米,则当h为何值时,V最大?求出V的最大值(求解本题时,不计容器厚度)
命题意图:本题主要考查建立函数关系式,棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值.
知识依托:本题求得体积V的关系式后,应用均值定理可求得最值.
错解分析:在求得a的函数关系式时易漏h>0.
技巧与方法:本题在求最值时应用均值定理.
解:①设h′是正四棱锥的斜高,由题设可得:
消去
②由(h>0)
得:
所以V≤,当且仅当h=即h=1时取等号
故当h=1米时,V有最大值,V的最大值为立方米.
[例2]已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时|f(x)|≤1.
(1)证明:|c|≤1;
(2)证明:当-1 ≤x≤1时,|g(x)|≤2;
(3)设a>0,有-1≤x≤1时, g(x)的最大值为2,求f(x).
命题意图:本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质,★★★★★级题目.
知识依托:二次函数的有关性质、函数的单调性是药引,而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂.
错解分析:本题综合性较强,其解答的关键是对函数f(x)的单调性的深刻理解,以及对条件“-1≤x≤1时|f(x)|≤1”的运用;绝对值不等式的性质使用不当,会使解题过程空洞,缺乏严密,从而使题目陷于僵局.
技巧与方法:本题(2)问有三种证法,证法一利用g(x)的单调性;证法二利用绝对值不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;而证法三则是整体处理g(x)与f(x)的关系.
(1)证明:由条件当=1≤x≤1时,|f(x)|≤1,取x=0得:|c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1.
(2)证法一:依题设|f(0)|≤1而f(0)=c,所以|c|≤>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,于是
g(-1)≤g(x)≤g(1),(-1≤x≤1).
∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),|c|≤1,
∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|=2,
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-2)|+|c|)≥-2,
因此得|g(x)|≤2 (