文档介绍：本资料来源于《七彩教育网》
2009年高考数学难点突破专题辅导十二
难点12 等差数列、等比数列的性质运用
等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念,通项公式,,往往可以回避求其首项和公差或公比,使问题得到整体地解决,能够在运算时达到运算灵活,方便快捷的目的,.
●难点磁场
(★★★★★)等差数列{an}的前n项的和为30,前2m项的和为100,求它的前3m项的和为_________.
●案例探究
[例1]已知函数f(x)= (x<-2).
(1)求f(x)的反函数f--1(x);
(2)设a1=1, =-f--1(an)(n∈N*),求an;
(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn<成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
命题意图:本题是一道与函数、数列有关的综合性题目,着重考查学生的逻辑分析能力,属★★★★★级题目.
知识依托:本题融合了反函数,数列递推公式,等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉,结构巧妙,形式新颖,是一道精致的综合题.
错解分析:本题首问考查反函数,反函数的定义域是原函数的值域,这是一个易错点,(2)问以数列{}为桥梁求an,不易突破.
技巧与方法:(2)问由式子得=4,构造等差数列{},从而求得an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧;(3)问运用了函数的思想.
解:(1)设y=,∵x<-2,∴x=-,
即y=f--1(x)=- (x>0)
(2)∵,
∴{}是公差为4的等差数列,
∵a1=1, =+4(n-1)=4n-3,∵an>0,∴an=.
(3)bn=Sn+1-Sn=an+12=,由bn<,得m>,
设g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是减函数,
∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*有bn<成立.
[例2]设等比数列{an}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的4倍,且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍,问数列{lgan}的前多少项和最大?(lg2=,lg3=)
命题意图:本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则,等差数列与等比数列之间的联系以及运算、★★★★★级题目.
知识依托:本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件,求出an;进而利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列,分析该数列项的分布规律从而得解.
错解分析:题设条件中既有和的关系,又有项的关系,条件的正确转化是关键,计算易出错;而对数的运算性质也是易混淆的地方.
技巧与方法:突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列,而等差数列中前n项和有最大值,一定是该数列中前面是正数,后面是负数,当然各正数之和最大;另外,等差数列Sn是n的二次函数,也可由函数解析式求最值.
解法一:设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有
化简得.
设数列{lgan}前n项和为Sn,则
Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn-1=lga1n·q1+2+…+(n-1)
=nlga1+n(n-1