文档介绍：
y
x
0
复习引入:
1、一般地,对于给定区间D上的函数f(x),若
对于属于区间D的任意两个自变量的值x1,x2,
当x1<x2时,有
问题1:函数单调性的定义怎样描述的?
(1)若f(x1)<f (x2) ,那么f(x)在这个区间上是增函数.
(2)若f(x1)>f(x2),那么f(x)在这个区间上是减函数.
(2)作差f(x1)-f(x2) (作商)
:
(1)任取x1、x2∈D,且x1< x2.
(4)定号(判断差f(x1)-f(x2)的正负)(与0比较)
(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式)
(5)结论
练习:讨论函数y=x2-4x+3的单调性.
定义法
单增区间:(2,+∞).
单减区间:(-∞,2).
图象法
思考:那么如何求出下列函数的单调性呢?
(1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x
发现问题:用单调性定义讨论函数单调性虽然
可行,但十分麻烦,尤其是在不知道函数图象
时。例如:2x3-6x2+7,是否有更为简捷的方法
呢?下面我们通过函数的y=x2-4x+3图象来
考察单调性与导数有什么关系
2
y
x
0
.
.
.
.
.
.
.
再观察函数y=x2-4x+3的图象:
总结: 该函数在区间(-∞,2)上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;
而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.
函数在该点单调性发生改变.
在区间(2,+∞)上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
y = x
y = x2
y = x3
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.
结论:在某个区间(a,b)内,如果,那么函数
在这个区间内单调递增; 如果,那么函数在这个区间内单调递减.
如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
注意:如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数
如果f´(x)<0,
则f(x)为增函数;
则f(x)为减函数.
如果f´(x)>0,
例1、求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
例题分析
f(x)的单增区间为(-∞,0)和(2,+∞)
f(x)的单减区间(0,2)
说明:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点
单调性发生改变.
小结:根据导数确定函数的单调性步骤:
(x)的定义域.
.
´(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f´(x)<0,得函数单减区间.