文档介绍：§ 多元多项式环
第七章多项式环
前面介绍了一元多项式的基本性质,但是除了一元多项式外;还有含多个文字的多项式,即多元多项式,如
下面简单介绍有关多元多项式的一些概念。
设F是一个数域,
是n个文字,
形如
—(1)
的式子,
其中
是非负整数,称为一个单项式。
如果两个单项式中相同文字的幂全一样,那么它们就称为同类项。一些单项式的和
就称为n元多项式,简称多项式,
记为
—(2)
和一元多项式一样,n元多项式也可以定义相等,相加、相减、相乘。
相等:
如果F上两个n元多项式有完全相同的项(或者只差一些系数为零的项),则称这两个多项式是相等的。
相加:
F上两个n元多项式
与
的和指的是把分别出现
在这两个多项式中对应的同类项的系数相加多得的n元多项式。
例如:
设
则f与g的和是
相减:
设
把g的系数都换成各自的相反数,所得多项式叫做g的负多项式,记为
相乘:
F上两个n元多项式
与
与g的每一项相乘,然后把这些乘积相加(合并同类项)所得的多项式称为f与g的积,记为fg。
的乘积指的是,先把f的每一项
例如
则
这样定义的多项式的加法和乘法与中学代数里多项式的运算一致,n元多项式的运算满足以下运算律:设
则
⑴
(加法结合律)
⑵
(加法交换律)
⑶
(乘法结合律)
(乘法交换律)
⑷
⑸
(乘法分配律)
我们把F上一切n个文字
的集合,连同以上定义的加法和乘法叫做F上n个文字
的多项式所成
的多项式环,记作
同一元多项式一样,也可以谈论n元多项式的次数。
设
称为单项式
的次数,
对f来说其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式f的次数,记为
设f、g是F上两个不等于零的n元多项式,则f与g的和与积的次数与f、g的次数有如下关系:
1、
2、
结论1是显然的,但要证明结论2,还得先考虑多元多项式的排列顺序,在一元多项式中,我们看到多项式的升幂(或降幂)排列对许多问题的讨论是方便的。为此,对多元多项式也引入一种排列顺序的方法,这种方法是模仿字典排列的原则得出的,因而称为字典排列法。
每一类单项式(1)都对应一个n元数组
为了给单项式之间一个排列顺序的方法,我们只要对n元数但定义一个先后顺序就可以了。
其中
为非负整数,这个对应是1-1的,
设两个单项式分别对应n元数组
和
考虑
如果有
使
而
则称n元数组
先于数组
记为
于是对应于
的单项式就排在对应于
的单项式前面。
例如,对多项式
按字典排列法写出来就是:
应该注意的是,
把一个多项式按字典排列法书写后,次数较高的项并不一定排在次数较低的项的前面,例如上面的首项次数为4,第二项的次数为6,而
关于多项式的首项有以下定理,这个定理在下一节讨论对称多项式时将要用到
定理 1:
数域F上两个非零的n元多项式
和
的乘积的首项等于这两个多项式首项
的乘积。