文档介绍：《数值积分及应用》研究
对象描述
《数值积分及应用》描述
数值积分的多种问题及其在现代工程中的广泛应用的探讨是计算数学的一个重要课题,数值积分是数学上的重要课题之一,是数值分析中的重要内容之一,也是数学的研究重点。并在实际问题及应用中有着广泛的应用。常用于科学与工程的计算中,如涉及到积分方程,工程计算,计算机图形学,金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用,所以研究数值积分问题有很重要的意义。研究方法有插值法和抽样插值法等。当然大家都知道计算积分可以借助原函数和查找积分表,但是,用这些方法只能解决很狭隘的一类积分,而且在计算的过程中,肯定会产生误差,我们要想法子使得误差尽可能的小。因此,数值积分的公式应满足:计算简单,误差小,代数精度高等。
近些年来,有关数值积分的研究已经成为一个很活跃的研究领域,所以研究数值积分有很重要的意义。设是闭区间上某一给定的可积函数,现在要计算定积分,我们可以借助原函数,或借助函数逼近的方法来计算,对于不熟悉的我们也可以借助参考积分表。但都有一定的局限性,由于许多函数的无定积分无法用简单的函数表达出来,如一些离散点上的函数。
在微积分理论中,我们知道了牛顿—莱布尼茨(Newton_Leibniz)公式:
式()
其中在闭区间上连续,是被积函数的某一个原函数,但是对于很多实际问题都无能为力。主要原因:
被积函数的原函数理论上存在,但无法用简单函数表示出来,即无法用与上式计算,例如:等初等函数;
被积函数无法详尽描述,即没有可用的计算表达式,也就是如是在一些离散点上的函数,就无法显示微分方程的解。
被积函数的原函数,表示相当复杂,求值困难。
因此,需要研究计算定积分的近似方法,即数值积分法。当然,可积函数的种类是极其多的,那么我们应该考虑满足:计算简单,误差小,代数精度高,故此,我们常寻找新的方法来修正已知的求积公式。
当的情况使得无法精确计算时,若能已知在部分点上的函数值,利用已经学过的差值知识,可以构造一个多项式来逼近被积函数,而多项式为被积函数,在区间上的定积分是容易计算的,这样得到计算定积分的一种数值积分方法,即
式()
于是,就根据这一想法构造了计算积分的各种近似计算公式。
《数值积分及应用》的相关概念
1. 求积节点,求积系数,权等概念
若求积公式
式()
式中称为求积节点,称为求积系数,亦称伴随节点的权。
2. 求积公式的代数精度的概念
若求积公式()中,若对任意次数不高于次的多项式均精确成立,而对某个次的多项式不精确成立,则称该求积公式具有次代数精度(Algebraic Accuracy)。
3. 求积公式的收敛性与稳定性
在求积公式()中,若
,
其中,则称求积公式()是收敛的。
对任给,若,就有
式()
成立,则称求积极分公式()是稳定的。
4. 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式
将积分区间等分,步长,取等距节点
则柯特斯(Cotes)系数
牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)求积公式为
式()
又被称为N-C公式。
下面给出几种特殊的N-C求积公式。
(1)梯形求积公式:
当时,,相应的求积公式
式()
称为梯形求积公式。
(2)辛普森(Simpson)公式
当时,,,,相应的求积公式为
式()
(3)柯特斯(Cotes)公式
当时,令,,求积公式
式()
称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式。
复化梯形积分
若将积分区间等分,步长,节点在每个小区间上用梯形公式
式()
并求和
得到的公式
式()
称为复化梯形公式。
6. 复化辛普森(Simpson)积分
若将积分区间分成等分,步长,节点在每个小区间上使用Simpson公式
则有
其中,对其求和可得
得到的公式
式()
则称为复化Simpson公式。
7. 龙贝格(Romberg)求积公式
Romberg积分是一种最典型的外推算法,是利用逐次分半的梯形序列,经Richardson 外推算法得到的求积公式。下面对改公式进行详细的介绍:
对积分,使用复化梯形公式并记
再根据Euler-Maclaurin公式,可得
取其中的,由Richardson 外推公式得
设,则,且有
如此重复Richardson公式可得
若记,则上式可记为
式()
此式即为龙贝格(Romberg)求积公式。
8. 高斯(Gauss)求积公式
Gauss型求积公式是指具有次代数精度的形如插值型求积公式,其节点称为Gauss点。
下面介绍几种常