文档介绍：数值分析
Numerical Analysis
机械与汽车工程学院
主讲人:孔胜利
******@spu.
2011-09-01
数值分析
第2章插值法
插值法的概念
拉格朗日插值多项式
Newton插值多项式
等距节点插值
Hermite插值
分段插值和抛物线插值
样条插值
数值分析
插值法的概念
举例
已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下:
深度(M) 466 741 950 1422 1634
水温(oC)
根据这些数据,希望合理地估计出其它深度(如500米,600米,1000
米…)处的水温。
数值分析
当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时,在区间[a,b]上一系列节
点 x0 … xm 处测得函数值 y0 = f(x0), …, ym = f(xm),由此构造一
个简单易算的近似函数 g(x)  f(x),满足条件

这个问题称为“插值问题”
这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。节点 x0 … xm称为插值节点,条
件(*)称为插值条件,区间[a,b]称为插值区间。
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x0
x1
x2
x3
x4
x
f(x)
g(x)
数值分析
拉格朗日插值
n = 1
使得
可见 P1(x) 是过( x0 , y0 ) 和( x1, y1 ) 两点的直线。
l0(x)
l1(x)
求 n 次多项式使得
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ,求
数值分析
构造基函数
与节点有关,而与f 无关
j=0,1,…,n (1)
数值分析
可以证明函数组l0(x),l1(x),…, ln(x) 在插值区间[a,b]上线性无关,所
以这n+1个函数可作为Pn的一组基函数,称为Lagrange插值基函数
插值多项式
Pn(x)=Ln(x)= f(x0)l0(x)+f(x1) l1(x)+…+ f(xn) ln(x)
记为Pn(x)= f(xj)lj(x)=Ln(x)
称Pn(x)为n次Lagrange插值多项式
数值分析
例:已知
分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50, 并估计误差。
解:
n = 1
分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
利用
数值分析
sin 50= …
利用x0, x1 作为插值节点的实际误差
利用
计算得:sin 50 ,
利用x1, x2作为插值节点的实际误差
数值分析