文档介绍：截断切割数学建模论文
摘要本文讨论了将一个待加工长方体经过六次截断切割成一个成品长方体的切割方式问题,利用重心偏移法,考虑了第七及第k+1次切割之间的联系,建立了动态规划的数学模型,并用直接搜索法进行了求解。
本文接着用此模型对某些部门的切割准则作了正确的评价,并给了当e=0时的简明优化准则,最后用具体实例验证了模型的可靠性,并对一些初值进行了详细的讨论,给出了所有的最优解。本文还对模型进行了误差分析,并对模型进行了推广。
关键词动态规划切割方式 f-原则
一、问题的提出与分析
某些工业部门(如贵重石材加工等)采用截断切割的加工方式。这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸,位置预定的长方体(这两个长方体的对应表面是平行的),通常要经过6次截断切割。设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积的费用的r倍,且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时,因调整***需额外费用e。
试为这些部门设计一种安排各面加工次序(称“切割方式”)的方法,使加工费用最少。并对某部门用的如下准则作出评论:每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。
该问题可以采用重心偏移法。在切割之前,长方体的重心是确定的,每切割一次它的重心就偏移一次,而且偏移有一定的规律,它只是沿着长、宽或高的方向偏移。待原长方体加工成成品长方体之后,长方体的重心经过六次偏移已与成品长方体的重心重合了。这就是长方体的重心偏移过程。
该问题是一个动态规划问题,是分级决策方法和最佳化原理的综合应用。首先是建立分级决策的模型。用dk表示第k次决策,Jk表示第k级的级收益,现在一定条件下,寻求一组可行决策变量,使问题的总收益J为最佳。
二、基本假设与符号约定
基本假设
由工艺要求,与水平工作台接触的待加工长方体底面是事先指定的,成品长方体的尺寸已知,位置预定,且两个长方体和对应表面是平行的。
***的磨损情况很小,可忽略不计。
切割热量对长方体所产生的影响很小,可忽略不计。
我们称切割后的那些不含成品长方体的小长方体为切块,考虑切块的可应用性,设切块是带状切块。
在切割过程中,设***对切块和待切割长方体不产生任何影响。
设水平切割单位面积费用是垂直切割单位费用的r倍。
设先后两次垂直切割的平面不平行时,不管它们是否穿插水平切割,因调整***所需额外费用e。
符号约定
dk:第k次决策;
J:总收益,即总加工费用;
P:垂直切割单位面积费用;
r:水平切割单位面积费用与垂直切割单位面积费用之比;
e:调整***所需额外费用;
δ(k):第k次切割时垂直待切割平面在水平面上的投影值;
:第k+1次切割后长方体的重心座标;
tk:第k次决策时的状态;
a2,b2,c2:成品长方体的长、宽、高;
a1,a3:成品长方体距待加工长方体左侧面和右侧面的距离;
b1,b3:成品长方体距待加工长方体正前面和正后面的距离;
c1,c3:成品长方体距待加工长方体底面和顶面的距离;
:待加工长方体的长、宽、高;
n:***被调整的次数;
:定义了一种运算法则,即x、y同奇同偶时表达式取值为0, x、y奇偶相异时表达式取值为1。
三、模型的建立
确定切割方式的总数
待加工长方体共需截断切割6次,在横垂