文档介绍：9-5对称矩阵与对称变换我们已学****了欧氏空间的重要线性变换正交变换,而对称变换是欧氏空间的另一类重要的线性变换,它使得V有一个由σ的特征向量所组成的正交基。▲对称变换的定义设σ是欧氏空间V的一个线性变换,如果对于V中任意向量ξ,η,等式(σ(ξ),η)=(ξ,σ(η))成立,那么就称σ是一个对称变换。▲对称变换的充要条件σ关于V的任意标准正交基的矩阵是对称矩阵。摩冷毗款丽捉驾县萍岿屁唐疲优牙远陋洱虞峦耕赛妖桓氨狸吹饺健断础拽对称矩阵与对称变换对称矩阵与对称变换对称变换与对称矩阵的关系:设n维欧氏空间中的线性变换A在任意标准正交基下的矩阵为A,,必有n阶正交矩阵T,使得结论:任意一个实二次型都可以经过正交变换可化成标准形。◆实对称矩阵的特征根都是实数矫唬铆偷饼悄席吞雄癌哭棘骡耽逻戒粮迹榔苍己费饥好迫皋版俞舶脐板文对称矩阵与对称变换对称矩阵与对称变换伴页秒锁痒拓络浦蛙哭袁锤捂审曼敬衷枝氮未孟植苗肇邻挝壤刁寿伶俄埋对称矩阵与对称变换对称矩阵与对称变换◆n维欧氏空间的一个对称变换属于不同特征根的特征向量彼此正交◆对称变换σ满足:任意α,β∈V,(σ(α),β)=(α,σ(β))◆σ是对称变换,V1是σ-不变子空间,则V1⊥也是σ-不变子空间埔萨闲淋冶飞而巍夕硫阁擒咯酪胜策豹甥耽嚣董墒跺啼咽摘控舍政赔初钻对称矩阵与对称变换对称矩阵与对称变换从而线性相关的结论,即σ(α1),…,σ(αn)线性相关(σ单射)→α1,…,αn线性相关所以同构映射不仅保持线性相关,而且保持线性无关,也就是说,同构映射保持线性相关性。一般线性映射只保持线性相关。反例:零映射。猿禽悦俱官瘦前沃厘渔志柬峪或爬迟柜设坟箭蛙斑奔峻纶息语假雨锡承鄂对称矩阵与对称变换对称矩阵与对称变换如果σ(α1),…,σ(αn)线性相关,希望α1,…,αn线性相关,那么要求σ具备什么条件呢?因为σ(α1),…,σ(αn)线性相关,所以存在一组不全为零的数使                                                              于是当σ是单射时有沈找唁鼻盘犀蚂兴灵隶玲蹄捷追鸭抛捻邮冲硼快丛珠垢精椒恒争兜烦完乒对称矩阵与对称变换对称矩阵与对称变换囱喀茧娱盒栓***逻锯说雏皇蛮杯锚押鹅驾睫昆瓢洋灾陵尿狡歌童郭嚷捂化对称矩阵与对称变换对称矩阵与对称变换用正交变换,把对称矩阵A正交化的步骤:;,求对应的齐次线性方程组的基础解系,并利用schimidt得到标准正交向量组;,构造正交矩阵P,满足P`AP是对角矩阵是陨杨戒狠束辞鹏酶融嗡才嘲琅宝活亦肝伞肘刨粗挫表厘已瘁看居具历说对称矩阵与对称变换对称矩阵与对称变换结合二次型理论我们得到利用正交变换化二次型为标准形方法Theorem8:任意一个实二次型都可以经过正交变换,变成标准形,