文档介绍：北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学试卷(理工类)
(考试时间120分钟满分150分)
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
第一部分(选择题共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,,选出符合题目要求的一项.
A. B. C. D.
,则
A. B. C. D.
:;命题:,,则下列命题中为真命题的是
结束
是
否
a<2013?
输出i
开始
A. B.
C. D.
△中,,,,
则△的面积等于
A. B.
,输出结果是.
若,则所有可能的取值为
A. B.
C. D.
,,,,点分别在线段上运动,且,设与交于点,则点的轨迹方程是
A. B.
C. D.
,的夹角为,且,则的最小值为
A. B. C. D. 1
①当时,数列为递减数列;
②当时,数列不一定有最大项;
③当时,数列为递减数列;
④当为正整数时,数列必有两项相等的最大项.
A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ②③
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,.
频率/组距
小时
8
4
2
6
10
12
,抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间,绘制了频率分布直方图(如图所示),那么这100名学生中阅读时间在小时内的人数为_____.
,若,则.
,两点,若,则实数的值
是_____.
,则该三棱锥的体积是;表面积是.
,则实数的最大值是.
(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数.
如:;
;
.
已经证明:若是质数,则是完全数,.请写出一个四位完全数;又,所以的所有正约数之和可表示为;
,所以的所有正约数之和可表示为;
按此规律,的所有正约数之和可表示为.
三、解答题:本大题共6小题,,演算步骤或证明过程.
15.(本题满分13分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小值;
(Ⅱ)若,求的值.
16.(本题满分13分)
甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试,在相同测试条件下,两人5次测试的成绩(单位:分)如下表:
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
58
55
76
92
88
乙
65
82
87
85
95
(Ⅰ)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好?说明理由(不用计算);
(Ⅱ)若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析,设抽到的两个成绩中,90分以上的个数为,求随机变量的分布列和期望.
17.(本题满分14分)
如图,在三棱锥中,平面,.
(Ⅰ)求证:;
B
P
D
O
A
C
G
(Ⅱ)设分别为的中点,点为△内一点,且满足,
求证:∥面;
(Ⅲ)若,,
求二面角的余弦值.
18.(本题满分13分)
已知函数,.
(Ⅰ)当时,求函数的极小值;
(Ⅱ)若函数在上为增函数,求的取值范围.
,,且经过点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知点,△是以为直角顶点的等腰直角三角形,试求直线的方程.
20.(本题满分13分)
已知是正数, ,,.
(Ⅰ)若成等差数列,比较与的大小;
(Ⅱ)若,则三个数中,哪个数最大,请说明理由;
(Ⅲ)若,,(),且,,的整数部分分别是求所有的值.
北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学答案(理工类)
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
D
B
A
A
C
二、填空题
题号
9
10
11
12
13
14
答案
三、解答题
:(Ⅰ)因为
,
又,所以当时,函数的最小值为.…… 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
所以.
于是(舍)或.
又. ……………… 13分
8
7
5
6
9
8