文档介绍：知识总结
指标符号
例如, 三维空间任意一点p在笛卡儿坐标系(),若是再推广到比三维更高的空间时不好描述了。因此,发展了另一种记法指标记法。在三维空间力里, 矢量有三个分量,采用一般的指标将它们用一个简单的分量进行缩写。因此在指标记法里边用指标符号表示为(,i=1,2,3)。一个 n 维空间的矢量()也可用分量表示为()。
其中i—指标(取值范围为小于或等于n的所有正整数)
n—维数
求和约定和哑指标
求和约定是指标记法的补充。若在一项中,只要一个下标在同一式子中重复出现,则表示要对这个指标从1,2,3......n 求和。
要表示求和,可表示为,
约定:,(用拉丁字母表示3维,希腊字母表2维)。其中求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次。
对于双重求和,,
其中,
可表示为,代表27项的和式。
自由指标
可以简写为,
其中 j ——哑指标
i——自由指标,在每一项中只出现一次,一个公式中必须相同
Kronecker-d符号和置换符号(i符号)
(1)Kronecker-d符号定义
首先是标积,从物理学知道,一个力矢量 f 与一个位移矢量 s ,可以确定一个标量,即功W,
其中记作 f s × .所以又称点积。用指标符号,则
当用基矢分别表示 f s , 时,它们的点积记为
由于,,是相互垂直的单位矢量,由点积的定义,知当i= j 时,dij 的分量是 1;当i ¹j 时,dij 的分量为 0。即
克朗内克(Kronecker)符号dij 可看作是一个单位矩阵的缩写形式,即
当将 1、2、3 赋值给 i 时,这一点很容易被验证,于是得到的分量分别为,,所以,可见,最终的结果是由于在数值变换上用i 代替 j 。所以,显而易见,将dij 应用于v j 只是将v j 中的 j 用i 置换;因此dij 符号通常称为置换算子。
(2)置换符号(i符号)
交错张量 e ijk 还为缩写提供了另一种方法。例如,叉积可以写为。注意求和约定。
三个矢量U, V ,W的点积和叉积可以得到几种有意义的乘积形式:
下面的关系式成立并且有用:
以U V W , 为边的平行六面体的体积或者该体积的负值, 这要根据U V W , 是不是构成右手坐标系而定。
在三维空间中, 任意矢量都可以表示为三个基矢量的线性组合,
其中ai为矢量a在基矢量ei下的分解系数, 也称矢量的分量
(1)矢量点积可表示为
,
(2)矢量叉积可表示为
其中,
故可得:
(3)矢量的混合积
可表示为==
其中有=(i符号)
、散度
标量场的梯度
假定在空间某区域定义一个标量,那么可以得到分别对三个坐标的导数,即
矢量的散度
=
Ñ是一个标量,在空间任一点,它只有一个值,不像矢量那样有三个分量。
张量的概念与表示方法
矢量是比标量更复杂的一种物理量或几何量。自然界还有比矢量更复杂的量, 如弹性体中一点的应力状态,就有正应力,,和剪应力,,,,, 共九个分量值。这样一种量,叫做张量。先从矢量 v的表示方法考虑,从有向线段的图示法出发,应用平行四边形合
张量的代数运算
(1)加(减)法
(2)矢量与张量的点积(点乘)
张量的乘法, 又叫张量的外积或直积。任何阶的几个张量都可施行乘法运算。其意义是第一个张量的每一个分量乘以第二个张量的每一个分量, 不难证明它们组成的集合仍是一个张量,叫做原两个张量的积张量。积张量的阶数等于两相乘张量的阶数之和。矢量与张量点乘的结果仍为张量,新张量b比原张量 T的阶数降低一阶
左点乘
右点乘
(只有对称张量两者才相等)
(3)矢量与张量的叉积
矢量与张量叉乘的结果仍为张量, 新张量与原张量同阶
左叉乘
右叉乘
(4)两个张量的点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减 2
两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这相当于矩阵相乘
(5)张量的缩并
在张量的不变性记法中, 将某两个基矢量点乘, 其结果是一个较原张量低二阶的新张量, 这种运算称为缩并,张量的缩并是张量特有的又一个代数运算。对阶张量进行缩并,就是对其中
两相同的指标按求和约定求和。不难证明,缩并之后仍是张量,其阶数比原张量低某个偶数,这要看它是对几对指标缩并而定。二阶张量的缩并,是一个标量。低于二阶的张量(如矢量)不能进行缩并运算。
(6)指标置换
这是张量所特有的代数运算之一,也是最简单的张量代数运算,
如
若对该张量的分量中任意两个指标交换次序, 得到一个与原张