文档介绍：爱因斯坦求和约定
指标
变量的集合：
x1 , x2 ,..., xn
y1,y2,...,yn
表示为：
xi,i 1,2,3,..., n
yj, j 1,2,3..., n
写在字符右下角的指标，例如 xi 中的 i 称为下标。写在字符右上角的指标，例如 yj 中的 j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。
用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从 1 到 n 的所有整数，其中 n 称为指标的范围。
求和约定
若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示
要对这个指标遍历其范围 1，
2, 3,…
■•n求和。
这是一个约定,称为
求和约定。
例如：
A11x1
A12x2
A13x3
b1
A21x1
A22x2
A23x3
b2
A31x1
A32x2
A33x3
b3
筒写为:
A Xj bi
j ――哑指标
i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同
遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标” 。不求
和的指标称为自由指标。
Kron ecker-符号（克罗内克符号）和置换符号
Kron ecker-
符号定义
1 当i
ij 0 当 i
置换符号
ijk
张e定义为：
1 当 i, j, k是 1,2,3的偶置换(123,231,312)
ijk
e eijk
1 当 i, j, k是 1,2,3的奇置换(213,132,321)
0 当i, j, k的任意二
二个指标任意
i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列
1
ai
ai
3
ai
1 2 3
ai a? a3
置换符号主要可用来展开三阶行列式：
2 3 1 3 1 2
a〔 a?a3 a〔 a?a3
1 3 2 2 1 3 3 1 2
a〔a2a3 a?a3 a〔a2a3
因此有:
ij a j i 1 ai
i 2a2 i3a3 ai
i A. im mj
ejik
ekj
ejki
同时有:
ii
11
22
33
ik kj
ij
ij ij
ii
jj
3
ij jk
kl
il
aik kj
a
f ij
aH
a11
a22
a耳
a
e ej
ij
i1
i2
i3
ejk
j1
j2
j3
k1
k2
k3
31
32
33
e$21
21
22
23
11
12
13
a33
j1 k1
j2 k2
j3 k3
0 0 1
0 1 0 1
1 0 0
eijk epqr
i1
i2
i3
p1
q1
r 1
j1
j2
j3
p2
q2
r2
k1
k2
k3
p3
q3
r3
i1 pl i2 p2
i3 p3
i1 pl
ip
ip iq ir
jp jq jr
kp kq kr
iq
jq
ir
iq jr ir jq
jr
已11
a^
a〔3
a21
已22
已23
a^ a22 a33 a12 a23 a31
a31
已32
已33
a^a 21 a32
已13 822已31 ai2 a2i a33 a^ a23 a32
eijk aiia2 ja3k e(jk aiiaj2 ak3
Kron ecker-和置换符号符号的关系为：°冏°心
is jt
js it
二张量代数
（减法）
两个同阶、同变异（结构）的张量可以相加（或相减）。张量相加（或相减）是相加（或相减）其同名的分量
设Ajk, Bjk是张量，则
Ajk
Cjk
Ajk Bjk
Ajk Bjk
也是张量。可以证明，张量相加
（减）的结果是一个同阶同变异张
量。
Ajk y
Amn
i?jk y
B1
mn
Ajk y
i m
y x
x1 yj
i m
y x
m n
y x x