文档介绍：§ 不等式关系与不等式
教学目的:
(组)生产的实际背景的前提下,学****不等式的有关内容;
,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小,以及用实数理论来证明不等式的一些性质;
;
,利用它们来证明一些简单的不等式;
,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度,同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘与数学的结构美,激发学生学****的兴趣.
教学重点:
(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题;
,注意每个定理的条件;
.
教学难点:
(组)准确地表示出不等关系;
:作差→变形→判断差值的符号;
.
教学过程:
一、引入新课:
在现实世界和日常生活中,既有相等关系,,三角形两边之和大于第三边,、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、,我们用不等式来表示不等关系.
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系.
二、讲解新课:
(一)用不等式表示不等关系
引例1 限速km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度不超过km/h,写成不等式就是:
引例2 某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于,蛋白质的含量应不少于,写成不等式组就是——用不等式组来表示
问题1: 设点与平面的距离为,为平面上的任意一点,则.
问题2: 某种杂志原以每本元的价格销售,,若单价每提高元,,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于万元呢?
解: 设杂志社的定价为元,则销售的总收入为万元,
那么不等关系“销售的总收入仍不低于万元”可以表示为不等式
问题3: ,?
解: 假设截得mm的钢管根,截得mm的钢管根.
根据题意,应有如下的不等关系:
(1)截得两种钢管的总长度不超过mm;
(2)截得mm钢管的数量不能超过mm钢管数量的倍;
(3)截得两种钢管的数量都不能为负.
要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:
(二)不等式的基本性质
对于任意两个实数,:
由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号就可以了.
用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式.
说明: (1)不等号的种类:.
(2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等).
(3)不等式研究的范围是实数集.
同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;例如,是同向不等式.
异向不等式:两个不等号方向相反的不等式;例如,是异向不等式.
定理1:如果,那么,如果,那么.(对称性)即
证明: ∵
∴
由正数的相反数是负数,得
即
∴(定理的后半部分略)
点评:定理1即
定理2:如果且,那么.(传递性)即
证明:∵
∴
根据两个正数的和仍是正数
得即
∴
点评:(1)根据定理l,定理2还可以表示为;
(2)不等式的传递性可以推广到个的情形.
定理3:如果,(加法性质)
证明:∵
∴
∴即
点评:(1)定理3的逆命题也成立;
(2)利用定理3可以得出,如果,那么,也就是说,不等式中任何一项改变符号后,可以把它从—边移到另一边.
推论:如果且,那么(相加法则)
即
证法一:
证法二:
点评:这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.
定理4:如果且,那么;
如果且,那么.(乘法性质)
证明:∵
∵
∴
当时,即
当时,即
推论1: 如果且,那么.(相乘法则)
证明: ①
又∴②
由①、②可得.
说明: (1)所有的字母都表示正数,如果仅有,就推不出的结论.
(2),两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别