文档介绍：数列与数学归纳法
一、基础练习
1用数学归纳法证明第一步应验证( )
A =1 B =2 C =3 D =4
2观察下列式子…则可归纳出________
,求的值及猜想,并证明
4已知=,=,求的值及猜想,并证明
5用数学归纳法证明+能被13整除,其中
,,当时,成等比数列
(1)求,并推出的表达式;
(2)求数列所有项的和
(3)用数学归纳法证明所得的结论;
,,且满足,求,数学归纳法
,并用数学归纳法
,,,求证:
=对一切自然数都成立,数学归纳法
11若为大于1的自然数,求证数学归纳法证明
12.(09山东)等比数列{}的前项和为,已知对任意的,点,均在函数且均为常数)的图像上.
(1)求的值;
(11)当时,记
证明:对任意的,不等式成立数学归纳法证明
,其中
(1)求证:数列为等差数列
(2)求证:
(为正整数)
(1)令,求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)令,比较与大小, 数学归纳法证明
,前项和
(1)求,,求的取值范围
(2)证明:
,
(1)设,求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和
(为常数,且)设是首项为4,公差为2的等差数列.
(Ⅰ)求证:数列{}是等比数列;
(Ⅱ)若,且数列{}的前项和,当时,求;
(Ⅲ)若,问是否存在,使得{}中每一项恒小于它后面的项?若存在,求出的范围;若不存在,说明理由.
,数列满足().
(Ⅰ)若,数列满足,求证:数列是等差数列;
(Ⅱ)若,数列中是否存在最大项与最小项,若存在,求出最大项与最小项,若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若,试证明:.
项与最小项,并说明理由.
{}中,.是函数
的一个极值点.
(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)记,当时,数列的前项和>2008的的最小值;
,其中是数列{}的前项和.
(Ⅰ)求通项
(Ⅱ)记数列{}的前项和为,:
21. 数列中,(),且成公比不等于1的等比数列.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 设=,求数列的前项和
22. 已知数列的前项和和通项满足(是常数且)
(1)求数列的通项公式;
(2) 当时,试证明;
23. 数列{}的前项和记为,
(I)求{}的通项公式;
(II)等差数列{}的各项为正,其前项和为,且,又成等比数列,求
,{}满足,前9项和为153.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,数列的前和为,求使不等式对一切都成立的最大正整数的值.
25. 在等差数列中,公差,且,
(1)求的值.
(2)当时,在数列中是否存在一项(正整数),使得, ,成等比数列,若存在,求的值;若不存在,说明理由.
26. 设正项数列的前项和为为非零常数。已知对任意正整数当时,总成立,求证数列{}是等比数列;
27. 已知函数满足,对恒成立,在数列中,,对任意,,
(1)求函数解析式;
(2)求数列的通项公式;
(3)若对任意实数,总存在自然数当时,恒成立,求的最小值
28. 设数列的前项和为,其中,为常数,且、、成等差数列.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设,问:是否存在,使数列为等比数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
29. 已知函数,数列的前项和为,对一切正整数,点都在函数的图象上,且过点的切线的斜率为.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前项和为;
(Ⅲ)设,,等差数列的任一项,其中是中的最小数,,求的通项公式.
30. 设数列的前项和为,已知
(Ⅰ)求证:数列为等差数列,并分别写出和关于的表达式;
(Ⅱ),求和;
(Ⅲ)是否存在自然数,使得? 若存在,求的值;若不存在,说明理由.
31. 在等比数列中,,公比,且,又与的等比中项为,
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求数列的通项公式
(3)当最大时,求的值.
32. 已知二次函数同时满足:①不等式0的解集有且只有一个元素;②在定义域内存在,使得不等式成立,设数列{}的前项和.
(1)求函数的表达式;
(2) 设各项均不为0的数列{}中,所有满足的整数的个数称为这个数列{}的变号数,令(),求数列{}的变号数;
(3)设数列{}满足:,试探究数列是否存在最小值?若存在,求出该项,若不存在,说明理由.