文档介绍：二重积分的计算法
教学目的:深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧
教学重点:熟练掌握二重积分计算
教学难点:二重积分在极坐标下的计算
教学内容:
利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。
一、利用直角坐标计算二重积分
我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题。
讨论中,我们假定;
假定积分区域可用不等式表示,
其中在上连续。
图9-2-1 图9-2-2
据二重积分的几何意义可知, 的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积。
图9-2-3
在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间
为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为
一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为
从而有
(1)
上述积分叫做先对,后对的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数)再对从到计算定积分。
这个先对, 后对的二次积分也常记作
在上述讨论中,假定了,利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的。
例1 计算
解
类似地,如果积分区域可以用下述不等式
表示,且函数,在上连续, 在上连续,则
(2)
图9-2-4 图9-2-5
显然,(2)式是先对,后对的二次积分。
二重积分化二次积分时应注意的问题
1. 积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:
对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴)的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。
2. 积分限的确定
二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法-- 几何法。
画出积分区域的图形(假设的图形如下)
图9-2-6
在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点
与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限;又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为。
例2 计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域。
解积分区域可用下列不等式表示
例3 求由曲面及所围成的立体的体积。
解
1. 作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域
图9-2-7
消去变量得一垂直于面的柱面,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域
2. 列出体积计算的表达式
3. 配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算
图9-2-8
而
由的对称性有
所求立体的体积为
二、利用极坐标计算二重积分
1. 变换公式
按照二重积分的定义有
图9-2-9
现研究这一和式极限在极坐标中的形式。
用以极点0为中心的一族同心圆常数以及从极点出发的一族射线常数,将剖分成个小闭区域。
除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算
其中,表示相邻两圆弧半径的平均值。
在小区域上取点