文档介绍：习题课二重积分的计算
二重积分的计算方法是累次积分法,化二重积分为累次积分的步骤是:
①作出积分区域的草图
②选择适当的坐标系
③选定积分次序,定出积分限
1。关于坐标系的选择
这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑
一、主要内容
被积函数呈
常用极坐标
其它以直角坐标为宜
2。关于积分次序的选择
选序原则
①能积分,②少分片,③计算简
3。关于积分限的确定
二重积分的面积元
为正
确定积分限时一定要保证下限小于上限
积分区域为圆形、扇形、圆环形
看图定限—穿越法定限和不等式定限
先选序,后定限
①直角坐标系
ⅰ。先 y 后 x ,
过任一x ∈[ a , b ],作平行于 y 轴的直线
穿过D的内部
从D的下边界曲线
穿入
—内层积分的下限
从上边界曲线
穿出
—内层积分的上限
ⅱ。先 x 后 y
过任一 y ∈[ c , d ] 作平行于 x 轴的直线
定限
左边界
——内层积分的下限
右边界
——内层积分的上限
则将D分成若干个简单区域
再按上述方法确定每一部分的上下限
分片计算,结果相加
②极坐标系
积分次序一般是
过极点O作任一极角为
的射线
从D的边界曲线
穿入
从
穿出
ⅲ。如D须分片
——内下限
—内上限
具体可分为三种情况
⑵极点在D的边界上
是边界在极点处的切线的极角
绝大多数情况下为0
⑶极点在D的内部
化累次积分后
外限是常数
内限是外层积分变量的函数或常数
极坐标系下勿忘 r
⑴极点在D的外部
4。关于对称性
利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的,它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的,不过重积分的情况比较复杂,在运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面,不可误用
对
①若D关于 x 轴对称
②若D关于 y 轴对称
③若D关于原点对称
——称为关于积分变量的轮换对称性
是多元积分所独有的性质
奇函数关于对称域的积分等于0,偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍,完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质
简述为“你对称,我奇偶”
①、②、③简单地说就是
④若 D 关于直线 y = x 对称