文档介绍：曲线和曲面
2. B 样条曲线
: B样条曲线的定义
: B样条曲线基函数性质
: B样条曲线的性质
: 二次B样条曲线
: 三次B样条曲线
: 二、三次B样条曲线的应用
: 非均匀B样条曲线
1. 样条函数的概念
: 一般样条函数的定义
: 三次样条函数
: 二次样条函数
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1. 样条函数概念

1946年首先提出的,他定义了一种B样条函数。尽管有
10年的时间未受到重视,但从60年代开始,随着电子
计算机技术的飞速发展和数据拟合以及函数逼近在生产
实验中的广泛应用,样条函数的理论和应用已迅速发展
成了一门成熟的学科。由于样条(Spline)函数发展的开始,
就具有广泛而又深刻的实用背景,因此,样条函数及其
参数表示形式的曲线和曲面方法是自由曲线与曲面设计
的基础。
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一般样条函数的定义
给定一组平面上顶点(xi,yi) (i=0,1,…,n),并设在区间[a,b]上的Δ:a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,那么在〔a,b〕上的一个函数 S(x) 称为K阶连续样条函数,如果它满足下面两个条件:
(1)在每个小区间〔xi-1,xi〕(i=1,2,…,n)内,S(x)
是具有K阶或K阶以上连续函数。
(2)在xi(i=1,2,…,n-1)处成立

即S(x)在拼接点处xi(i=1,2,…,n-1)也具有K阶连续,
这也就是S(x)在整个区间[a,b]上具有K阶连续。
若S(x)满足,则称S(x)为插值样条函数。
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三次样条函数
假设在区间〔a,b〕上给定一个分割
Δ: a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,
在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值三次样条函数,
如果满足下列条件:
(1)在每一小区间〔xi-1,xi〕(i=1,2,…,n)内S(x)分别
是三次多项式函数;
(2)在节点xi(i=1,2,…,n-1)处成立:
即小区间上的三次多项式函数,在拼接点处xi 具有二阶连续拼接。

(3)满足插值条件yi =S(xi),i=0,1,…,n.
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二次样条函数
设定区间〔a,b〕上一个分割Δ: a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,
在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值二次样条函数,如
果满足下列条件:
(1)在每个小区间内,S(x)是二次
多项式函数,这里,
称为半节点;
(2)在半节点(i=1,2,…,n)处成立
(3)满足插值条件
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2. B 样条曲线
以Bernstein基函数构造的Bezier曲线或曲面有许多优越性,但有两点不足:其一是Bezier曲线或曲面不能作局部修改,控制多边形的一个顶点发生了变化,整条Bezier曲线的形状便发生变化;其二是Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。因此,1972年,Gordon、Riesenfeld等人提出了B样条方法,在保留Bezier方法全部优点的同时,克服了Bezier方法的弱点。
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B 样条曲线的定义
给定m+n+1个平面或空间顶点 Pi (i=0,1,…,m+n),
称n次参数曲线段:
为第k段n次B样条曲线段(k=0,1,…,m),这些曲线段
的全体称为n次B样条曲线,其顶点Pi(i=0,1,…,n+m)
所组成的多边形称为B样条曲线的特征多边形。
其中,基函数定义为:
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B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
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B 样条曲线示例
三次B 样条曲线示例
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