文档介绍：一、三次样条的产生和背景
第二章插值法
§5 三次样条插值
二、三次样条函数的定义
三、三转角方程
四、三弯矩方程
预备知识
已知:4个条件
xi
xk
xk+1
yi = f(xi)
yk
yk+1
求:一个次数不超过3的多项式H3(x)
Hermite插值:
结论:
其中
实际中有许多计算问题对插值函数的光滑性有较高的要求,例如飞机机翼外形、发动机进、排气口都要求有连续的二阶导数。
一、三次样条的产生和背景

显然我们前面介绍的方法已不能解决这个问题。
(Spline)
样条是工程设计中使用的一种绘图工具,它是富有弹性的细木条或细金属条。绘图员利用它把一些已知的点连接成一条光滑曲线称为样条曲线,样条曲线在连接点处有连续的曲率(即连续的二阶导数),它实际上是分段三次曲线拼接而成,在连接点上要求二阶导数连续。
二、三次样条函数的定义
若函数S(x)∈C2[a,b],且在每个小区间[xj,xj+1]上是三次多项式,其中
a =x0<x1 <…<xn=b
是给定节点,则称S(x)是节点x0,x1, …,xn上的三次样条函数。

(x)∈C2[a,b]
(x)在[xj,xj+1]上是三次多项式
即:
三次样条函数

+
S(xi) = yi

未知参数个数
4n
已知条件个数
插值条件: n+1
S(x)∈C2[a,b] :3(n-1)
共计: 4n-2
缺少条件,通常在插值区间的端点给出,称为边界条件。

1°已知两端的一阶导数值,即:
2°已知两端的二阶导数值,即:
3°当f(x)是以xn-x0为周期的周期函数时,则要求S(x)也是周期函数,即
周期样条
三、求解方法之一:三转角方程
设在[a,b]上给出插值条件:

xj
x0
x1
x2
…
xn
f(xj)
f0
f1
f2
…
fn
求三次样条插值函数 S(x)
思路: (1)首先要补条件:每个区间上构造三次多项式需要四个条件,但现在最多有三个,故要补充条件,形成四个;
(2)补什么条件:或函数值,或一阶导数值,或二阶导数值。这里选一阶导数较合适;
(3)如何补?若随意给,则只能保证构造出的插值函数的函数值和一阶导数值连续,但不一定能保证二阶导数值连续,故只能选那组使二阶导数连续的一阶导数值。
xj
x0
x1
x2
…
xn
f(xj)
f0
f1
f2
…
fn
x1处:
得到与m0,m1,m2有关的等式
x2处:
得到与m1,m2,m3有关的等式
共n-1个等式