文档介绍：线性代数知识点总结(同名837)《线性代数》复****提纲 第一部分:基本要求(计算方面)四阶行列式的计算;N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算);求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;含参数的线性方程组解的情况的讨论;齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解);讨论一个向量能否用和向量组线性表示;讨论或证明向量组的相关性;求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;将无关组正交化、单位化;求方阵的特征值和特征向量;讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵;通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分:基本知识一、^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和; (2)展开式共有n!项,其中符号正负各半; 一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则; N阶(n>=3)行列式的计算:降阶法定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(2)行列式值为0的几种情况: Ⅰ行列式某行(列)元素全为0;Ⅱ行列式某行(列)的对应元素相同;Ⅲ行列式某行(列)的元素对应成比例;Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 (表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等); (1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论:①矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵);②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|;④|kA|=k^n|A| (1)定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2)秩的求法一般不用定义求,而用下面结论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 (1)定义:A、B为n阶方阵,若AB=BA=I,称A可逆,B是A的逆矩阵(满足半边也成立); (2)性质: (AB)^-1=(B^-1)*(A^-1),(A')^-1=(A^-1)';(AB的逆矩阵,你懂的)(注意顺序) (3)可逆的条件:   ①|A|≠0; ②r(A)=n;  ③A->I;(4)逆的求解伴随矩阵法 A^-1=(1/|A|)A*;(A*   A的伴随矩阵~)②初等变换法(A:I)->(施行初等变换)(I:A^-1)  :AX=B,则X=(A^-1)B;XB=A,则X=B(A^-1);AXB=C,则X=(A^-1)C(B^-1)三、: (1)r(A,b)≠r(A) 无解;(2)r(A,b)=r(A)=n 有唯一解;(3)r(A,b)=r(A)<n  有无穷多组解;特别地:对齐次线性方程组AX=0(1) r(A)=n 只有零解;(2) r(A)<n 有非零解;     再特别,若为方阵, (1)|A|≠0 只有零解(2)|A|=0   (1)解的情况: r(A)=n,(或系数行列式D≠0)只有零解;r(A)<n,(或系数行列式D=0)有无穷多组非零解。 (2)解的结构:  X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。 (3)求解的方法和步骤: ①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵;②写出对应同解方程组;③移项,利用自由未知数表示所有未知数;④表示出基础解系;⑤写出通解。(1)解的情况:利用判定定理。(2)解的结构:  X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。 (3)无穷多组解的求解方法和步骤: 与齐次线性方程组相同。(4)唯一解的解法: 有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。四、:向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。: (1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同);  (2)向量内积α'β=a1b1+a2b2+…+anbn; (3)向量长度    |α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)       (√ 根号)(4)向量单位化(1/|α|)α; (5)向量组的正交化(施密特方法) 设α1,α2,…,αn线性无关,则β1=α1, β2=α2-(α2’β1/