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数学微积分学在经济学中的应用
摘要:从上世纪末到本世纪,几乎社会科学所有的领域和门类都不同程度的显示出一种重要的特征:这些学科的理论和方法正朝着日益数学化方向演化。这种趋势在经济领域中尤为突出,主要表现在经济学中开始引入越来越深奥的数学方法和工具,尤其是在引用微积分、概率统计等方面。在经济学中引用数学方法和工具,大约有200多年的历史,经济学的发展历史表明,数学在经济学中的发展中起着很重要的作用,是经济理论取得突破的重要工具。俯瞰西方经济学全书,不管是微观还是宏观部分,都大量引用了数学上微积分的知识。本文主要介绍了微积分与概率统计在经济学中最简单的应用—弹性、边际分析法和剩余价值。
关键词:微积分学;概率统计;弹性;需求;供给;剩余价值;边际分析法
1引言
随着显得科技与经济的迅速发展,社会科学逐步向跨学科、综合性的方向发展,在经济领域,随着现代企业核算制度和股份制公司的确立,再简单运用以上函数本身不能够正确、有效地解决复杂问题,这促使微积分,概率统计等高等数学思想被广泛的应用到经济、财务报表分析及决策和经营管理等各个方面,这对于解决经济问题,,下面先引进几个数学概念:
导数的定义
定义:设函数y=f(x)在点U(,)内有定义,当自变量在处取得增量时,相应地函数取得增量=,如果与之比当0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点处可导,并称这个极限函数为y=f(x)在点处的导数,记为,即= 也可以记作,
或。
微分定义
定义:设函数y=f(x),如果函数的增量,可表示为=A+,其中A是不依赖于的常数,那么称y=f(x)在点是可微的。
A叫做函数y=f(x)在点相应于自变量增量的微分,记作dy,即dy=A.
自变量的微分通常把自变量x增量成为自变量的微分,记作dx,即dx=。于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=。
微分的几何意义
当是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量时,dy就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量。当很小时,比小得多。因此在点M的邻近,我们可以用切线断来近似代替曲线段。
多元函数
二元函数定义:设D是平面上的一个点集,如果对于每个点,变量z按照一定的法则总有确定的值和它相对应,则称z是变量x,y的二元函数,记为(或记为).
类似地可以定义三元及三元以上函数。
当时,n元函数统称为多元函数。
偏导数定义:设函数在点的某一邻域内有定义,当y固定在而x在处有增量时,相应的函数有增量
,如果存在,则称此极限为函数
在点处对x的偏导数,记为或。
同理可定义函数在点处对y的偏导数,记为记为或。
多元函数极值:求出点使=0 =0
又令
则在点处是否取得极值的条件如下:
是具有极值,当时有极大值,当时有极小值;
时没有极值;
时能有极值也可能没有极值,还需另作讨论。
2. 导数在经济学中的应用
,:
弹性含义
弹性是指两个有函数关系的变量之间,其因变量对自变量变化的反应灵敏度,或者是因变量变动幅度(变动的百分比)对自变量变动幅度的比例关系。

弹性的大小用弹性系数表示。一般可用公式表示为:
  弹性系数=
设两个经济变量之间的函数关系为 Y = F ( X ),具体的弹性公式为: 此式称为弧弹性公式。
E 为弹性系数,△ Y 、△ X 分别为变量 X 、 Y 的变动量。该式表示:当自变量X变化百分之一时,因变量Y变化百分之几。
若经济变量的变化量趋于无穷小,即当式中的,且时,则弹性公式为:
此式称为点弹性公式。
需求的价格弹性:需求的价格弹性是需求量对价格变动的反应程度,或者说,价格变动百分之一会使需求量变动百分之几。其计算公式为:
=-=÷=·=·
例1、假定表2—1(即教材中第54页的表2—5)是需求函数Qd=500-100P在一定价格范围内的需求表:
表2—1某商品的需求表
价格(元)
1
2
3
4
5
需求量
400
300
200
100
0
(1)求出价格2元和4元之间的需求的价格弧弹性。
(2)根据给出的需求函数,求P=2元时的需求的价格点弹性。
解答:(1)根据中点公式ed=-·/(),有
ed=·/()=
(2)由于当P=2时,Qd=500-100×2=300,所以,有
ed=-·=-(-100)·=
例2、假定某商品市场上有100个消费者,其中,60个