文档介绍：第卷第期经济数学
拓年月仪拓
带常利率的双模型的破产概率‘
陈珊,, 莫晓云, 谭激扬, 杨向群,
湖南师范大学数学与计算机科学学院,长沙,
湖南工业职业技术学院,长沙,
湖南财经高等专科学校,长沙,
摘要本文在保费的收取和理赔都为复合过程的盈余过程的基础上,考虑盈余产生利息的双
模型,在保费收取量和理赔量都取整数值时,我们运用转移概率推导出了破产概率的近似计算公式及误差
估计式,并且得到了破产概率的一个上界和一个下界
关键词复合过程,利率,转移概率,破产概率,近似公式,上下界
中图分类号琴扣, 文献标识码
主题分类号刊印刃
模型及基本假设
在保险风险理论研究中,我们知道经典连续时间风险模型为
。一
其中是初始盈余,。是常数,为单位时间内的保费收取率二凡⋯
寿‘,弋,,⋯为个别理赔量,它们独立同分布,用泛指任一个戈,的分布函数为
二,期望为产,方差有限为参数久的过程,表示在,」时间内的总理赔次数
对于这个模型,国内外已有不少的研究成果
所谓的双模型即考虑保费的收取也为过程的模型
一
其中为参数几的过程,表示在,司时间内收取的总保单数。为常数,是每个保
单收取的保费许多学者对此风险模型做了研究,王黎明川,龚日朝,李凤军等给出了最终破
产概率公式和不等式,孙立娟,顾岚川对破产概率及相关量做了随机数值模拟和数值
分析
如果模型中每个保单的保费收取量不是常数。,而是随机变量二,,⋯并假设
矶独立同分布,用泛指任一个矶,的分布函数为幼,期望为。,方差有限,则可更进一
步建立如下的模型
一
其中二玖⋯瑞‘,显然,双几模型包含了模型对模型,邹辉,朱
,国家自然科学基金项目,高校博士点基金项目。夕旧以拓
收稿日期以拓一一’
一一经济· 数学第卷
勇华’在个别理赔量和每张保单收取费‘为指数分布时证明了破产概率的不等
式但遗憾的是,对此模型破产概率至今还无有效的计算公式此模型的破产概率在本文里作
为一个特例得到了部分的解决
对上述风险模型我们定义破产发生时刻为
,
最终发生破产的概率定义为
沪
在时刻之前破产的概率定义为
沪,二感,
并假设个别理赔量序列‘妻,个别保单保费序列二,总理赔次数过程
侧,保单总数过程〕均相互独立模型的相对安全负荷系数定义为二
以从产一,即久产从模型的相对安全负荷系数定义为几叮久产一
,即从,产二久
为了方便推导,盈余过程根据如下的定理可简化变形
定理如果,是相互独立的随机变量,是参数为入,,分布函数为为理赔量
的分布函数的复合变量,是参数为久,分布函数为保费的分布函数,并
记‘二一的复合变量则一是复合变量,参数为几,十
几,分布函数为
几
二一一
几又
证明令,一的分布函数为二记。,城分别为随机变量,,的矩母函
数因为,相互独立,的矩母函数为
一君〕君一〕
几〔〕几「,一〕
几, 」入〔,一」
却久,久「下共气呱
十八,」一
这就是参数为久入,分布函数为
久
几久
的复合变量的矩母函数,而一一,结论显然成立证毕
根据定理,模型可以改写成
一,
其中如定理所定义,是一个复合过程设,,,⋯独立同分布,且用
泛指任何一个、,‘二,,⋯可理解为第次亏损量,其分布函数为,则
艺
最,
云二
这里的服从参数为几,几的儿分布我们还能计算得
第期陈珊,莫晓云,谭激扬,杨向群带常利率的双模型的破产概率一一
入
产一不丁而”’
定义二乃二,再定义刀一如果在模型中再引人常利率,利
率强度为占,即盈余产生利息记产生利息的盈余为玩设第次亏损的时刻
为,并设凡二一兀,,⋯,二则盈余认满足
认
认韶,一,
玩兀二矶。气一
事实上,上述这种带利率的模型和对印。模型在文献「
中提出过,并且得到了破产概率的鞍上界和递推上界,而和,一
分别在文献「」〔」中对带利率的复合模型提出了与类似的表达式由于模型
是一个复合模型,所以相互独立,均服从参数为几入的指数分布,定义盈余
过程玩,的破产时刻兀二玩剑最终破产概率和有限时间的破产概率分
别定义为
咖了认二,
再,二‘认
盈余过程玩,的破产概率不容易推导,下一节我们将推导出破产概率的一个近似计
算公式第三节将得到这个近似计算公式的误差估计式以及破产概率的一个上界和一个下界
第四节将用所得的公式进行数值计算并且进行随机模拟
近似计算公式
为了简化问题,在盈余过程玩,川中,设初始盈余取非负整数值,亏损量
,,⋯是取整数值的随机变量,这只要理赔量二,,⋯以及保费二