文档介绍：第12讲
举例进一步说明如何寻求充分统计量。
例1:已知泊松分布∏()λ,其概率函数为:
λ x
fx()λ== e−λ,其中 x 0,1,2,…
x!
且其联合概率分布为:
∑ xi
λ 1 x
−−nnλλ∑ i
fx()1,,
xn λλ==nne e .
xx!!
∏∏ii==11ii
由此,可取:
1 n
−nTλ
ux()11, , xnn==n ,Tx() , , x∑ xi and vT () ,λ= e λ.
X ! i=1
∏i=1 i
n
根据 N-F 因子分解准则可知,T= X是其充分统计量。
∑i=1 i
例2:已知标准正态分布 N (α,σ 2 ),其中σ 2 未知,α已知。其概率函数为:
()x−α 2
−
1 2
fx()α= e2σ
2πσ
其联合概率函数为:
2
1 ⎪⎪⎧⎫n ()x −α
fx,,
xα=−exp i
()1 n n ⎨⎬∑ 2
()2πσ⎩⎭⎪⎪i=1 2σ
2 2
1 ⎪⎪⎧⎫xxiiα nα
∑∑
=−+−n exp ⎨⎬22 2
()2πσ⎩⎭⎪⎪22σσσ
2 2
1 ⎪⎪⎧⎫xi ⎧ααn ⎫
=−exp∑ exp x −.
n ⎨ 22⎬⎨∑ i 2 ⎬
()2πσ⎩⎭⎪⎪22σσ⎩⎭σ
n
令TX= , ,有
∑i=1 i
2 2
1 ⎧⎫⎪⎪xi ⎧ααn ⎫
∑且
ux()1,,
xn =−n exp⎨ 22⎬⎨ vT(),α=− exp T 2⎬,
()2πσ⎩⎭⎪⎪22σσ⎩⎭σ
由因子分解准则可以证明T 是充分统计量。
联合充分统计量
考虑
TTX111= (),,
Xn ⎫
⎪
TTX221= (),,
Xn ⎪
⎬−关于样本()XX1,,
n 的统计量.
⎪
⎪
TTXkk= ()1,,
X n⎭
类似于前面只有一个统计量T 时的情形,我们称统计量(TT1,,
k ) 为联合充分统计量。
如果样本的分布已知,则Ρθ(X11,,
XTnk ,, T)与参数θ无关。由因子分解准则可得
(TT1,,
k ) 是联合充分统计量的充分必要条件是:
fx()111,,
xnnθ= ux() ,, xvT( ,,, Tkθ).
同理可证。
例1:已知正态分布 N (α,σ 2 ),α与σ 2 都是未知参数。此时其联合概率密度函数为:
1 ⎪⎧ xx2 α nα 2 ⎪⎫
fx,,
x ,2 exp ∑ ii∑
()1 n ασ=−+n ⎨ 22−2⎬
()2πσ⎩⎭⎪ 22σσσ⎪
令
nn
且 2
TXTX12==∑∑ii
ii==11
根据 N-F 因子分解准则可得(TT12, ) 是联合充分统计量。
例2:已知均匀分布Uab[ , ] ,区间为[ab, ] ,ab, 都为未知参数,其概率密度函数为:
⎧ 1
⎪, x ∈[]ab, .
fxab(), = ⎨ba−
⎩⎪0, 其他.