文档介绍：第三章第三章函数极限函数极限二二函数极限的性质函数极限的性质§2 函数极限的性质在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限:1)??xfx???lim;2)??xfx???lim;3)??xfx??lim;4)??xfxx??0lim;5)??xfxx??0lim;6)??xfxx0lim?它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第6)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应的作些修改即可。过程时刻从此时刻以后??n??x???x???xNNn?Nx?Nx?Nx??)(xf???Axf)(0xx??????00xx??0xx??0xx????00xx00?????xx过程时刻从此时刻以后)(xf???Axf)(?定理1(函数极限的唯一性) 如果当x?x0时f(x)的极限存在??那么这极限是唯一的?证明,xxfBA时的极限当都是设0,?, (1))(0,0,0101?????????????Axfxx时有当则, (2))(0,0202??????????Bxfxx时有当故有同时成立时则当取,xx)2(),1(0),,min(021????????.2)()())(())((???????????BxfAxfBxfAxfBA..即其极限唯一的任意性得由BA???定理1(函数极限的唯一性) ?定理2(函数极限的局部有界性) 如果f(x)?A(x?x0)?那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界?如果当x?x0时f(x)的极限存在??那么这极限是唯一的?证明有使得则取设);(,0,1,)(lim00???xUxAxfxx????????.1)(1)(?????AxfAxf.);()(0内有界在即?xUxf??定理3(函数极限的局部保号性) 如果f(x)?A(x?x0)?而且A?0(或A?0)?那么对任何正数r<A (或r <-A),在x0的某一去心邻域内?有f(x)? r>0 (或f(x)?-r < 0)?证明);(,0,),A,0(,00???xUxrArA?????????使得则取设.)(rAxf?????r?推论如果在x0的某一去心邻域内f(x)?0(或f(x)?0)?而且f(x)?A(x?x0)?那么A?0(或A?0)??定理4(函数极限的保不等式性) 证明).(lim)(lim),()();()(),(00'00xgxfxgxfxUxgxfxxxxxx?????则内有极限都存在且在时如果??,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx????设)1(),(0,0,0101xfAxx?????????????时有当则)2(.)(0,0202??????????Bxgxx时有当于是有同时成立与不等式时则当令,xgxfxx)2(),1()()(,0},,,min{021'??????????,)()(???????BxgxfA.,2BABA???的任意性知由从而???定理5(函数极限的迫敛性) 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件?(1)f(x)?h(x)?g(x)? (2)lim f(x)?A?limg(x)?A?那么limh(x)存在?且limh(x)?A?证明),(0,0,0101xfAxx,?????????????时有当按假设.)(0,0202??????????Axgxx时有当故有同时成立时上两不等式与则当令,)()()(0},,min{021xgxhxfxx??????????,)()()(????????AxgxhxfA.)(lim)(0Axh,Axhxx????即由此得?0x x?0x x?0x x?0x x?:( ) ( ) ( )f x h x g x? ?(x)g(x)与?推论1如果limf(x)存在?而c为常数?则lim[c?f(x)]?c?limf(x)??推论2 如果limf(x)存在?而n是正整数?则lim[f(x)]n?[limf(x)]n? 0lim ( ) , lim ( )x x x xf x A g x B? ?? ?如果那么0 0 0(2) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x xf x g x f x g x? ??? ???0