构造正三角形巧解几何问题.docx

文档介绍：,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P为△ABC内一点,∠PBC=10°,∠ACP=20°,求∠APB的度数。1解:如图1,在△ABC的BC的同侧作等边三角形 BCD,连结AD在△DBA和△CBP中DBA=∠DBC-∠ABC60°-50°10°因为∠CBP=10°所以∠DBA=∠CBP,因为∠BCP=∠ACB-∠ACP50°-20°30°显然DA平分∠BDC所以所以∠BDA=∠BCP,因为BD=BC所以△DBA≌△CBP(ASA)BA=BP,即△ABP是等腰三角形。所以评注:考虑到作等边三角形后形成∠DBA=60°-50°=10°为证全等创造条件是本题的关键。,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,延长AB到D,设AD=BC,连接DC,求∠ACD的度数。2解:如图2,在△ABC的BC的外侧作等边三角形 BCE,连结AE在△ACE和△CAD中,因为∠ABC=∠ACBACE=∠ACB+∠BCE40°+60°100°所以∠ACE=∠CAD因为AC=CA,CE=BC=AD所以△ACE≌△CAD(SAS)故∠CEA=∠D因为AE平分∠BEC,有所以∠D=30°ACD=180°-∠DAC-∠D180°-100°-30°50°,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,在AB上取AD=BC,求∠ACD的度数。3解:在△ABC的BC的同侧作等边三角形 BCE,连结AE。在△ACD和△CAE中,ABCACE=∠ACB-∠ECB80°-60°20°所以∠CAD=∠ACE=20°AC=CA,AD=BC=CE,所以△ACD≌△CAE(SAS)因为AE平分∠BAC,所以 ,所以∠ACD=∠CAE=10°。,已知在四边形ABCD中,∠ABD=12°,∠DBC=36°,∠ACB=48°,∠ACD=24°,求∠ADB的度数。图4解:因为∠ABC=∠ABD+∠DBC=12°+36°=48°又∠ACB=48°所以△ABC是等腰三角形,在△ABC中,BC的同侧作等边三角形 BCE,连结AE,在△DBC中,BDC=180°-∠DBC-∠BCD180°-36°-(48°+24°)72°所以∠BDC=∠BCD=72°BD=BC在△ABE和△ABD中,EBA=∠EBC-∠ABC=60°-48°=12°=∠DBAAB=AB,BE=BC=BD所以△ABE≌△ABD(SAS)BEA=∠BDA因为EA平分∠BEC所以所以∠BDA=30°。,已知在四边形ABCD中,∠ABD=∠ADB=15°,∠CBD=45°,∠CDB=30°。求证△ABC是等边三角形。5解:因为∠ABD=∠ADB=15°,所以△ABD是等腰三角形。在△ABD和BD的同侧作等边三角形 BDE,连结AE。在△BAE和△BCD中,EBA=∠EBD-∠ABD60°-15°45°=∠DBC因为EA平分∠BED,所以因为BE=BD,所以△BAE≌△BCD(ASA)所以BA=BC因为∠ABC=∠ABD+∠CBD15°+45°60°所以△,在正方形ABCD中有一点P,且有∠PAB=∠PBA=15°,求证△PCD是等边三角形。6分析:如图6,在△PCD的同侧作等边△P”CD,因为CD=CP”=CB,所以△CP”B为等腰三角形且∠BCP”=90°-60°=30°。所以∠P”BA=15°同理∠BAP”=15°由条件知AP与AP”为同一条直线,BP与BP”也为同一条直线,故P与P”重合。所以△PCD是等边三角形。从以上几例可以看出用叠加的方法作等边三角形可使一些与等腰三角形有关的几何问题变得简单,给人以柳暗花明之感。https://wenku./view/://wenku./view/://wenku./view/://wenku./view/://wenku./view/://wenku./view/://wenku./view/://wenku./view/58fa29809