文档介绍：数值分析实验报告实验名称常微分方程初值问题的数值解法实验时间2008年1月2日姓名马步青班级数学与应用数学053学号成绩一、实验目的,,包括Euler方法、R-K方法、线性多步法二、相关背景知识介绍nn 1n n 10 0xn 1 nxn nn 1 (x, y)(a x b)[x , x ]y(x ) yy x y x f x y x )dx, f(x,y(x))=f(x ,y(x )),y x y(x ) hdydx??? ???????? ??+++(一) 法对于方程组在区间上积分,得 ( )= ( )+ ( , ( )如果积分区间足够小,可认为被积函数在该区间上为一常数,取可得 ( )n nf (x , y(x ))n ny y(x ),用代替用“=”代替“?”,得到:n+1 n n n0 0 1 2 ny y hf (x , y(x )y(x ) y , y ,y , ,y ,Euler? ??? ?)有可由上式依次得到该方法称为法。n 1 n n n n 1 n 1. EulerEulerhy y [f (x , y ) f (x , y )]2 Euler Euler? ?? ? ?+(二)改进的法为了构造更高精度的积分公式,对公式的积分运算应用梯形积分公式,可得如下求解公式:该公式称为梯形公式。法是显示算法,计算量小,但精度低;梯形法是隐式算法,须借助迭代求解,计算量大,但提高了精度。综合使用上述两种方法,可得如下改进的n n nn+1n+1 n n n n+1n 1Eulery y hf (x , y )hy y [f (x , y ) f (x , y )]2??? ???? ? ???格式,又称预测——校正公式:0 0'n 1 nn n+1'n 1 n -Kuttaf (x, y)(a x b) y y(x),y(x ) yLagrangey(x ) y(x )x x ), y ( )hy x y x h y ( ) y x hf ( , y( ))k f ( , y( )),dydx? ? ?? ??? ???? ?????????? ? ??+*(三)方法对于一阶常微分方程的解可以利用微分中值定理(中值定理),存在(使得即 ( )= ( ) + ( )+其中:记=称n n 1n ny=y(x) [x , x ] Eulerx , y ) k?*为在区间上的平均斜率,这样,方法相当于取(点上的斜率的近似值,当然是十分粗糙的,因为此精度必