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第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B 参考答案(初中组)
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题 B 参考答案(初中组)
一、填空题(每小题 10 分,共 80 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 11 57 1200 420 6 1005 4

二、解答下列各题(每题 10 分,共 40 分, 要求写出简要过程)
9. 答案:所有解为(1,1),(11,16),(16,11)
解:若 x=y∈N*,且 x2+3x 为完全平方数,
而(x+1)2=x2+2x+1≤x2+2x+x=x2+3x<x2+4x+4=(x+2)2.
∴当且仅当 x=1 时等号成立,
∴ x=y=1;
若 x>y,则 x2<x2+3<x2+3y<x2+3x<(x+2)2.
∴ x2+3y=(x+1)2=x2+2x+1.
∴ 3y=2x+12x=3y-1=2y+y-1,从而 y-1=2k(k∈N*);此时有 x=
3k+1.
y2+3x=(2k+1)2+9k+3=4k2+13k+4.
∵(2k+2)2=4k2+8k+4<4k2+13k+4<(2k+4)2=4k2+16k+16.
∴只能有 4k2+13k+4=(2k+3)2=4k2+12k+9k=5.
∴ x=16,y=11.
∴所有解为(x,y)=(1,1),(11,16),(16,11).

10. 答案:9
解:第一次从前向后加注红圈时,设加红圈的页面号码为 m,则
m1  11 k , k  1,2,3, m  2011 (1)
由 1 11k  2011  2011  11, 182 1k 9 182
第二次从后向前加注红圈时,由 2011 21 95 16,可知这时加红圈的页面
号码 m 就是从第 16 页开始向后每隔 20 页加注红圈的页面号码,除了第 16
页和最末的一页(第 2011 页)是例外,于是第二次加注红圈的页面号码就是
m16  21 k'' , k  0,1,2, ,94 (2)
结合(1)和(2)于是得到
m1  11 k  16  21 k'  11( k ' k ) ' k 10  15 ' k  4
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第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B 参考答案(初中组)
于是 m 16  21  4  100 是两圈重合的页面号码之最小者,注意到 11 和 21
的最大公约数[11,21] 231,因此,两圈重合的页面号码一般是
mk100 231,
由 100 231kk  2011  0。 8
所以,两圈重合的页面有 9 页。

11. 答案:45
解:因为 M 是 AC 的中点,所以 A与C到EF 的距离相等,因此 SAEF  SCEF 。
同理: SBEF  SDEF 。
两式相加可得 SABE  SCDF 。
故三角形 CDF 的