文档介绍：张量分析(Tensor Analysis)1)熟练运用符号与求和约定;Objectives2)熟练掌握张量以及包括基矢量、度量张量等基本张量的定义;3)熟练掌握张量的运算法则;4)熟练运用张量表示力学的基本方程。1 张量的概念在三维空间,一个矢量(例如力矢量、速度矢量等)在某参考坐标系中,有三个分量;这三个分量的集合,规定了这个矢量;当坐标变换时,这些分量按一定的变换法则变换。???????????zzzyzxyzyyyxxzxyxxij??????????在力学中还有一些更复杂的量。例如受力物体内一点的应力状态,有9个应力分量,如以直角坐标表示,用矩阵形式列出,则有:这9个分量的集合,规定了一点的应力状态,称为应力张量。当坐标变换时,应力张量的分量按一定的变换法则变换。所谓张量是一个物理量或几何量,它由在某参考坐标系中—定数目的分量的集合所规定,当坐标变换时,这些分量按一定的变换法则变换。张量有不同的阶和结构,这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。矢量是一阶张量;应力张量、应变张量是二阶张量;还有三阶、四阶等高阶张量。张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。采用张量记法表示的方程,在某一坐标系中成立,则在容许变换的其他坐标系中也成立,即张量方程具有不变性。张量是佛克脱() 提出(用来表示晶体的应力(张力)状态)。一、符号与求和约定A) 指标变量的集合:nxxx,,,21??nixi,,2,1,??表示为:nyyy,,,21??njyj,,2,1,??写在字符右下角的指标,例如xi中的i称为下标。写在字符右上角的指标,例如yj中的j称为上标;使用上标或下标的涵义是不同的。用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母,除非作了说明,一般取从1到n的所有整数,其中n称为指标的范围。B) 求和约定若在一项中,同一个指标字母在上标和下标中重复出现,则表示要对这个指标遍历其范围1,2,3,…n求和。这是一个约定,称为求和约定。pzazaza???332211式中ai, p是常数。这个方程可写成: pzaiii???31应用求和约定,则这个方程可写成如下形式:pzaii?遍历指标的范围求和的重复指标称为哑指标或跑标。不求和的指标称为自由指标。例:三维空间的平面方程为:B) 求和约定(续)注:哑指标只是表示求和。在一项中,同一个指标字母的使用不能超过两次。??niiixa12)(),,2,1,(njixaxajjii??求和约定可以推广到微分公式:设f(x1,x2,···,xn)为n个独立变量x1,x2,···,xn的函数,则它的微分可写成:中i被认为是下标。iidxxfdf???ix?C) 克罗内克(Kronecker)符号克罗内克符号的定义是:ji???????)(0)(1jijiji?1332211??????0323123211312????????????克罗内克符号也可写成?ij或?ij。C) 克罗内克符号(续)例:空间直角坐标系中,线元矢量长度的平方为:2322212)()()(dxdxdxds???利用克罗内克符号,上式可写成:jiijdxdxds??2jijixx??jiijxx????jkikji????克罗内克符号的一些常用性质:D) 置换符号置换符号eijk=eijk定义为:????????011ijkijkeei,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。当i,j,k是1,2,3的偶置换(123,231,312)当i,j,k是1,2,3的奇置换(213,132,321)当i,j,k的任意二个指标相同D) 置换符号(续)置换符号主要可用来展开三阶行列式:231231331221233211231231133221332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa???????kjiijkjiaaaeaa321??若以表示行列式中的普遍项,以表示行列式,则上述行列式可写成:jiajiaknjmilijkilmaaaeae?