文档介绍：数列问题的解题技巧2017年8月24日星期四等差(作差)等比(作商)=d=q(q≠0)2.=+(n)d==+(n)d==A+CB2=A·+n=p+q,则=若m+n=p+q,则=求常用的有四种方法=(n≥2)注:此公式适用于任何数列累加法=累积法=构造法=求常考的有三种方法错位相减法{}(其中,一个为等差,另一个为等比数列)分组求和法{}(其中,一个为等差,另一个为等比数列)裂项抵消法{},例如{}={2()}一、求,=(n≥2)例:已知=4,求。解:∵,得==4()化简得3=4,∴==q,当n=1时,=4=,即∴数列{}是以为首项,为公比的等比数列,∴=,(n≥2)注:这种题型的变异,若=+1,(n≥2),求,得=,即=3=q,又∵=+1,即=+1=·3,=1∴数列{}是以1为首项3为公比的等比数列∴=,(n≥2)二、累加法=例:已知=+3n+2,且=1,求解:∵=+3n+2∴=+3·1+2=+3·2+2=+3()+2∴=+3[1+2++()]+2()=1++2()=,(n≥2)三、累积法=例:已知=,且=1,求解:∵=∴=,将=1,2,,()分别代入,得===∴==∴四、构造法(构造新数列)形如=例1:已知=,且=1,求解:引入参数,然后利用待定系数法求出参数,=,即=,得=1∴==∴=2=q令=,==2则数列{}是以2为首项2为公比的等比数列∴=2=,即=,∴=形如=,解法:两边同除例2:已知=,且=1,求解法:两边同除以的系数2的的角标次方(即)就可以约去前面的系数。解:∵=两边同除以得,=+∴=+,(n≥2)令{}={},再将=2,3,4,,分别代入=+,得=+=+=+∴=[]=+=∴===求常用的有三种方法一、错位相减法形如{}(其中,一个为等差,另一个为等比数列){(2n+1)}的前n项和。解:∵=(2n+1)∴=(2×1+1)+(2×2+1)(2n+1)……….2=(2×1+1)+(2×2+1)(2n+1)……….=(2×1+1)222(2n+1)∴=(2n+1)2(+)(2×1+1)=(2n+1)6=(n)++2小结:本题通项为=(2n+1)从2n+1是公差为2的等差数列,是公比为2的等比数列,即本数列为差比数列,形如{},做题时,不能直接利用等差或等比数列公式,因此,可以考虑先变形再求解,此类数列中的公比是什么,就乘以什么,然后再错位相减,注意:一定要错位,整理出符合等差或等比的求和公式进行求解。二、分组求和法{}(其中,一个为等差,另一个为等比数列)例:已知数列{}中,={(2n+1)+},求。解:==[(2×1+1)+]+[(2×2+1)+(2n+1)+]=[3+5]+()=+=++2n三、裂项抵消法{},例如{}={2()}例1:已知数列{},=,求。解:∵==2()∴=2()=2()=2()∴==2()=例2:已知数列{},=,求。=+.解:先把通项=裂开,====1+=1+()∴=+=n1+()=n+()=n+={},公比q>1,且4是的一个等比中项,的等差中项是6,若数列{}满足=(n∈N+)(1)求数列{}的通项公式(2)求数列{}的前n项和解:∵=又∵∴,==2,=2∴=2=又∵===n∴{}={}∴=+2=+得;=++∴==+2=()+2例2数列{}前n项和为,且=1,=2+1(n∈N+),等差数列{}中,,(n∈N+),且++=15,+,+,+成等比数列(1)求{},{}的通项公式(2)求{+}:(1)得==2∴=3∴数列{}是以1为首项,3为公比的等比数列∴=∵{}是等差数列,且++=15,设{}的公差为d∴=5又∵+,+,+成等比数列∴=(+)(+)=(+)(+)82=()()∵,∴d=2,∴=+d,=3,∴=3+(n)d=2n+1(2)=(+)+(+)(+)=+++=()+[3+5+7]=+=+n(n+2){}中,=1,=a(a≠0,且a≠1),其前n项和为,且当n≥2时,=(1)求证{}是等比数列(2)求数列{}的通项公式(3)若a=4,=,求数列{}的前n项和解:(1)∵=∴=(通分整理得)=(n≥2)又∵==1,=+=1+a=a∴=a,=∴{}是以1为首项a为公比的等比数列(2)n≥2,==∴=(3)a=4,,===3========+=++=+=练****1.(2017山东文)(本小题满分12分)已知{}是各项均为正数的等比数列,且+=6,=(I)求数列{}的通项公式;(II){}为各项非零的等差数列,其中n项和,已知=,求数列{}的前n项和2.(2017新课标I文数)(12分)记为等比数列{}的前n项和,已知=2,=6,(1)求数列{}的通项公式;(2)求,并判断,,是否成等差数列