文档介绍：1/:当自变量x无限趋近于0x(0xx?)时,如果函数)(xfy?无限趋近于一个常数A,就说当x趋向0x时,函数)(xfy?的极限是A,记作Axfxx??)(lim0。xx??0lim;00limxxxx??。例题1:判断下列函数的极限:(1)xxx0lim?(2)11lim21???xxx(3)121lim220????xxxx定义2:当自变量x取正值且无限增大时,如果函数)(xfy?的值无限趋近于一个常数A,就说当x趋向于正无穷大时,函数)(xfy?的极限是A,记作:Axfx????)(lim。也可以记作,当x???时,Axf?)(。当自变量x取负值而x无限增大时,如果函数)(xfy?的值无限趋近于一个常数A,就说当x趋向于负无穷大时,函数)(xfy?的极限是A,记作:Axfx????)(lim。也可以记作,当x???时,Axf?)(。当自变量x的绝对值无限增大时,如果函数)(xfy?的值无限趋近于一个常数A,就说当x趋向于无穷大时,函数)(xfy?的极限是A,记作:Axfx???)(lim。也可以记作,当x??时,Axf?)(特例:对于函数Cxf?)((C是常数),当自变量x的绝对值无限增大时,函数Cxf?)(的值保持不变,所以当x趋向于无穷大时,函数Cxf?)(的极限就是C,即CCx???lim。例题2:判断下列函数的极限:(1)xx)21(lim???(2)xx10lim???(3)21limxx??(4)4lim??x(5))1lim(???x(6)???(7)41limxx??(8)11lim2???:如果函数当时的极限为零,那么称函数为当时的无穷小。当0?x时,xxsin2,等都是无穷小。当???x时,)1(1,1?aaxx等都是无穷小。定义2:如果当时,对应的函数值的绝对值无限增大,就称函数为当时的无穷大。2/16当???x时,)1(,2?aaxx等都是正无穷大;当??0x时,xxcot,:在自变量的同一变化过程中,如果为无穷大,则为无穷小;反之,如果为无穷小,且,则为无穷大。:有限个无穷小的和也是无穷小。定理2:有界函数与无穷小的乘积是无穷小。定理3:对于函数极限有如下的运算法则:如果BxgAxfooxxxx????)(lim,)(lim,那么BAxgxfoxx????)]()([limBAxgxfoxx????)]()([lim)0()()(lim???BBAxgxfxx也就是说,如果两个函数都有极限,那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限,分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商(作为除数的函数的极限不能为0)。当C是常数,n是正整数时:)(lim)]([limxfCxCfooxxxx???nxxnxxxfxfoo)](lim[)]([lim???这些法则对于??:分析下列函数的极限:)3(lim22xxx?????????xxx分析:当4?x时,分母的极限是0,不能直接运用上面的极限运用法则,注意函数y?x2?16x?4在定义域4?x内,可以将分子、分母约去公因式4?x后变成4?x,由此即可求出函数的极限。?????xxxx分析:当??x时,分子、分母都没有极限,不能直接运用上面的商的极限运算法则。如果分子、分母都除以2x,所得到的分子、分母都有极限,就可以用商的极限运用法则计算。??????xxxxx分析:同例4一样,、分母都除以3x,就可以运用法则计算了。3/16例6.)32(lim21??xx;例7.)132(lim22???xxx例8.)]3)(12[(lim4???xxx;??????????????????——两个典型背景示例例一:运动物体的瞬时速度设质点沿x轴作直线运动,若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系)为xxt?(),求在时刻0t的瞬时速度。解:(1)求时段0t到0t+?t的平均速度:??)(0ttv,xttxtt()()00????(2):因此,如果极限:?)(0tvtxttxtt???000lim()()??存在,这个极限值就是质点在时刻0t的瞬时速度。例二:曲线的切线斜率:设曲线L由方程yfxaxb???()()?(,)。要求L在点),(00