文档介绍：全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(41)加试模拟训练题(41)1、设H是锐角△ABC的垂心,由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ,P、:P、H、、f为定义于非负实数集上的且取非负数值的函数,求所有满足下列条件的f:(1)f(xf(y))f(y)=fx+y(2)f(2)=0(3)f(x)≠0,当0≤x<、集合A={01,2,3,4,5,6,7},满足下列条件(1)、(2)的A到A上的映射f有几个?(1)i,j∈A,i≠j则f(i)≠f(j);(2)i,j∈A,i+j=7f(i)+fj)=74、求所有的正整数n、m,(41)1、设H是锐角△ABC的垂心,由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ,P、:P、H、Q三点共线.【题说】1996年中国数学奥林匹克(第11届数学冬令营)题1.【证】设BC中点为O,连结AO,PQ,交于G,则AO⊥△AQO中,由射影定理有AQ2=AG·AO(1)作AD⊥BC于D,,延交AC于E,则BE⊥AC,、D、C、E共圆,从而AH·AD=AE·AC=AQ2(2)由(1)、(2),得AH·AD=AG·AO因此H、D、O、∠HGO=180º-∠HDO=90º,即H在PQ上.【另证】设BC中点为O,AD、BE为高,则AD、BE都过H,并且E在以BC为直径的圆上,∠ADC+∠HEC=90º+90º=180º,所以E、C、D、H四点共圆,AH·AD=AE·⊙O切线,所以AE·AC=·AD=AQ2,所以△AHQ∽△AQD,∠AHQ=∠,∠AHP=∠、D、Q都在以OA为直径的圆上,所以∠AQD+APD=180º.从而∠AHQ+∠AHP=180º,即P、H、、f为定义于非负实数集上的且取非负数值的函数,求所有满足下列条件的f:(1)f(xf(y))f(y)=fx+y2)f(2)=03)f(x)≠0,当0≤x<2.【题说】第二十七届(1986年):如果ω>2,那么在(1)中取y=2x=2,就得f(ω)=f2)f(2))·f(2)=