大一下学期高数论文.doc

文档介绍：利用偏导数解决最值问题青岛滨海学院文理基础学院11文科1刘凯丽20110500120摘要:利用偏导数解决实际生活屮关于容器容积最大化问题,以得到最大的容积。关键词:偏导数、最大值、容积问题背景:牛活屮,很多地方需要用到最值问题。半材料有限吋,如何获得要求的最大值尤为重要。因此,我们要找寻一个有效方法利用已定的资源,使其利用价值最大化。问题的提出:要制造一•个无盖的长方体水槽,已知其总造价为216兀,底部造价为18元/平方米,侧面造价为6元/平方米。问应选取怎样的尺寸,才能使水槽的容积最大?求解:法一:设其容积为V=>V=xyz18xy+6(2xz+2yz)=2163(12一xy)3(12xy-x2y2)2(x+y)其111x>o,y>o,z>o(12y-2xy2)(x+y)-(\2xy-x2y2)(兀+卅(12x-2x2y)(x+y)-(12xy—x2y2)(x+y)2X=2,y=2,Z=3法二:拉格朗日乘数法设?=/(x,y),0(兀,y)在定义域内均有连续的一阶偏导数,且不同吋为零。求FI标函数z=/(A<y)在约束条件0(兀刃=0下的极值或最值的步骤:(1)构造辅助函数——拉格朗H函数F(x,y)=/(x,y)+九(pgy)F;=0=fx+%;⑵求<F'y=0=fy+";0(.y)=0求出的驻点为可能的极值点若求出的驻点在定义域内唯一,结合实际问题,可得到该驻点就为所求的极值点或最值点。F=xyz+2(3兀y+2xz+2yz一36)f;=yz+A(3y+2z)=0Fy=XZ+2(3x+2z)=0=>兀=yf;=心+2(2%+2y)=0=>3y=2z3xy+2xz+2yz-36=0=> x=y=2,z=3说