文档介绍：万方数据
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1Hausdorfr(X)2R2LebesgueR容易作分划的,但它在函数的定义域上所诱导的分划却可能相当复杂,,这里所谓“简单函数”是分片为常值的函数,~意义RiemannLebesgueRiemann由于侄曰智蛞G蟮难细裥裕Ъ颐且欢仍衔猂积分无法进([2144)Riemann理论的发展,这一课题被重新提了出来.[3]“,另一个是纯数学的研究”赜贒理论还可参阅文【或【.近年来的研究表明,理论在许多方面都有重要应用【,其中基于所谓上空间概念引入了一种可构造的测度理论,并利用拓扑空间上的赋值概念以理论为工具,成功地在带有舛鹊慕舳攘靠占渖辖⒘薘积分理论【.它无疑是“优美的和可构造的”,,,而且将建立此种积分的区域从Hausdorfr111好地继承了传统值姆绺瘢蚨诱庖灰庖迳峡床耪嬲羌虻サ暮鸵子诶斫獾虽3)memannRiemannRiemannRiemann本文中,丁硎窘鬑拓扑空间,那么義上存在一致结构纠,使拓扑丁可由“导出【“。史璴u=u_1u(x)2)o8(x)(x)Borel8(x)x定义扑脑W。,肛=鬑测度空间,若以下各条件成立:(i)(x)Hausdorff(ii)(x4p)o<(x)<+(iii)(x)c(iv)xEp(E)=o>(x)紧仄丝占洌为爸邪赬的可测集的全体,猂”中的LebesgueX(x4p)Hausdom以下在不致混淆时常把,丁,琾蚣俏獂,本文采用与文】~∈琔∈甜。,规定u[A={zx伞蔄使,可士.,尽!.上讲,LebesgueRiemann数学报卷4
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G=(1)=(t],几叫,海,只寻,丢⋯⋯.(ii)P1=c1R=UG(=2)u(i=1n)P1=c1R=GUG=,1D(xD里侍稹”騳∈“筗嫌薪缡抵岛腞积分2P={PlR)xx=U1n=O(i)眪,使瑇琍⋯.,.,这里则莤的一个环只率瞪希鑓⋯.,,这里c={c1GG=t]zix(i=ln)(1)y则定义械奶跫与都成立,,下面的引理谔致跼积分的性质时要用到.(i)yo(y设罰cy(i)证明因为日是牧谟蚯褼是紧子集,,任取蔖騐蔖,由,∈罰脄噊∈浚佣鳳cG]似地,任取蔊騐可∈可,∈罣yyy[D]G】,,由琍只≠仍⋯.,.称獂的环只绻嬖趗∈“蛒的有限开覆盖u(i=ln)(u)xu瑈R豢蒊,则莤的开覆盖,且易验证定义械牧礁鎏跫汲闪ⅲ馐盤中每个区间的长度都小于￡.由阶匀豢梢园裀称为只远ㄒ是实分析学中区间的￡×锌<?zx)xx(4)GG1x1xuxx2(i)G(i=1n)cxxu(u)=D以下设,:÷莤上的有界实函数,矗。。,蕏c襊傥悖珿偃裕騊銀(i)GG例鑨∈“。,:罣几/
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蘤,批㈨队∽,s(P)=p()inf(),,∑只畇,.肛%。。.只一尬一·卢一一。嗨瓶芍≤尥∞,从而由接式,得一。。晦危ァ躶一悖,,尬%∞.(R)⋯.,,由降胹一垆,,荨颇定义鑅∈纠。.令以,∈妒,,,,识】..命题枰詙∈“。,则一。。阢,s+(V)<+1(ii)又由命题4嬖趚的一分划啥以及接式,得以,躶一,≤,,躶≤“。关于有限交运算封闭知㈣。,≤嵌ㄏ蚱蚣馐庇式和式知当躽时s()s(K)2{s(U)Iu}{s()u{s()Ius+()以有:3xR以,瑄∈所。,省啊;裕,示馈∽,,:禦是有界实值函数,规定,阢,示馈,o数学报卷c
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(R))()f蘤脚筘∽∥∽/,,时称,苫堑反.,札成,批(R)(R)xRiemannReimann(Q+g)dp=Qdp+pdp证明如果輔,则容易证明当,可积时,部苫,,,,可积则部苫,蹋岳灿型慕崧郏砸韵轮恍柚っ鞯眏雊皆可积时,Riemanna+Riemann莇仙积分与上积分相等时称,在蟁可积,并且令2(i)3xRiemann(10)在下一节中将证明,,苫鼻医龅保负醮Υα渲っ魍耆览涤赬uxuRX分划蛊渫奔酉讣坝肴运淙徊⒉荒眩J筆仍具有“开覆盖差”式的结构却不容易,xu3s(u),u{s+()l侍稹都是定向集且极限存在.(iii)