文档介绍：Lebesgue 积分与 Riemann 积分
教学目的本节讨论直线上的 Riemann 积分(包括广义 Riemann 积分)与
Lebesgue Riemann 可积函数的一个判别条件.
本节要点用测度理论可以给出函数 Riemann 可积的一个简明的充要条
件. 本节的主要结果表明 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广. 利用
Lebesgue 积分的性质, 可以解决一些 Riemann 积分的问题.
Riemann 积分的回顾先回顾一下 Riemann 积分的定义. 设[a,b] 是直线上的一个有
界闭区间一个有限序列称为是的一个分割若
. P = {x0 , x1 ,L, xk } [a,b] ,
设和是的两个分割如果则称是的
a = x0 < x1 < L < xk = b. P Q [a,b] . P ⊂ Q, Q P
一个加细.
k
设 f 是定义在[a,b] 上的有界实值函数, P = {xi }i=0 是[a,b] 的一个分割. 对每个
i = 1,L,k, 令
mi = inf{ f (x) : x ∈[xi−1 , xi ]}, M i = sup{ f (x) : x ∈[xi−1 , xi ]}.
f 关于分割 P 的 Darboux 下和与 Darboux 上和分别定义为
k k
s( f , P) = ∑ mi (xi − xi−1 ), S( f , P) = ∑ M i (xi − xi−1 ).
i=1 i=1
s( f , P) 和 S( f , P) 的几何意义分别是曲线 y = f (x) 的下方图形(曲边梯形)的内接阶梯
形与外接阶梯形面积( 见引言的插图). 显然对[a,b] 的任意一个分割 P , 总有
s( f , P) ≤ S( f , P). 又容易验证以下实事:
(1) .若 P1 和 P2 是[a,b]的两个分割, 并且 P2 是 P1 的加细, 则有
s( f , P1 ) ≤ s( f , P2 ), S( f , P2 ) ≤ S( f , P1 ).
(2).对[a,b]的任意两个分割 P1 和 P2 ,总有
s( f , P1) ≤ S( f , P2 ).
因此当 P 取遍[a,b] 的所有分割时, f 的下和 s( f , P) 的全体所成的数集上有界, 上和
S( f , P)
I( f ) = sup{s( f , P) : P是[a,b] 的分割},
I( f ) = inf{S( f , P) : P是[a,b] 的分割}.
分别称 I 和 I 为 f 的下积分和上积分. 如果 I = I, 则称 f 在[a,b]上是 Riemann 可
积的, 并且称 I 和 I 的公共值为 f 在[a,b]上的 Riemann 积分(简称为 R 积分). 为避免与
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Lebesgue 积分混淆, 下面将 f 在[a,b] 上的 Riemann 积分和 Lebesgue 积分分别暂记为
b b
(R) fdx 和(L) fdx.
∫a ∫a
引理 1 设 f 是