文档介绍：长春理工大学数学研究生入学初试《高等代数》考试大纲一、 总体要求高等代数是大学数学系本科学生的最基本课程之一,它的主要内容包括多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、儿矩阵、欧几里得空间、双线性函数。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有较强的运算能力、推理证明能力和综合分析解决问题的能力。要求考生比较系统地理解髙等代数的基本概念和基本理论,掌握高等代数的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。二、 教材北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编,《高等代数》,高等教育11!版社,,郝銷新编,《高等代数》,高等教育出版社,,《高等代数》,复旦大学出版社,、 考试内容(一) 多项式一元多项式的整除、最大公因式、带余除法公式、互素、不可约、因式分解、重因式、根及重根、多项式函数的概念及判别;复根存在定理(代数基本定理);根与系数关系;一些重要定理的证明,如多项式的整除性质,Eisenstein判别法,不可约多项式的性质,整系数多项式的因式分解定理等;运用多项式理论证明有关命题,如最大公因式、多项式的互素、不可约多项式的性质有关的问题的证明与应用;用多项式函数方法证明有关结论。(二) 行列式〃■级排列、对换、斤■级排列的逆序及逆序数和奇偶性;〃•阶行列式的定义,基本性质及常用计算方法(如三角形法、加边法、降阶法、递推法、按一行或一列展开法、Laplace展开法、Vandermonde列式法);Vandermonde行列式;行列式的代数余子式。(三) 线性方程组向量组线性相(无)关的判别及相应齐次线性方程组有(无)非零解的相关向量判别法、行列式判别法;向量组的极大线性无关组的性质,向量组Z间秩的大小关系定理及其三个推论,向量组的秩的概念及计算,矩阵的行秩、列秩、秩概念及其行列式判别法和计算;Cramer法则,线性方程组有(无)解的判別定理,齐次线性方程组有(无)非零解的矩阵秩判别法、基础解系的计算和性质、通解的求法;非齐次线性方程组的解法和解的结构定理;(四) 矩阵矩阵基本运算、分块矩阵运算及常用分块方法并用于证明与矩阵相关的结论,如有关矩阵秩的不等式;初等矩阵、初等变换及其与初等矩阵的关系和应用;矩阵的逆和矩阵的等价标准形的概念及计算,矩阵可逆的条件及其与矩阵的秩和初等矩阵的关系,伴随矩阵概念及性质;行列式乘积定理;矩阵的转置及相关性质;一些特殊矩阵的常用性质,如,对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵、幕等矩阵、正交矩阵等;矩阵的迹、方阵的多项式;应用矩阵理论解决一些问题。(五) 二次型二次型及其标准形、规范型的概念和计算,惯性定理及其应用;实二次型或实对称矩阵正定、半正定、负定、半负定的概念及判定条件和应用;实二次型在合同变换下的标准形和规范型,以及在正交变换下的特征值标准形的求法。(六) 线性空间线性空间、子空间的定义及性质;线性空间中一个向量组的秩及计算方法;线性(子)空间的基和维数与向量关于基的坐标,子空间的基扩充定理,基变换与坐标变换,生成子空间,子空间的直和,一些常见的子空间,如线性方程组的解空间,矩阵空间,多项式空间;子空间的直和、维数公式;线