文档介绍：教案三埃尔米特插值法和分段低次插值法
基本内容提要
1 埃尔米特插值法及基函数
2 龙格现象
3 分段低次插值法
教学目的和要求
1 掌握埃尔米特插值法及其相关概念
2 理解利用基函数构造埃尔米特插值多项式的思想
3 理解分段低次插值法的基本思想
教学重点
1 埃尔米特插值基函数及插值多项式的表达式
2 分段低次插值法的基本思想
教学难点
1 利用基函数的方法构造埃尔米特插值多项式的思想方法和过程
2 利用构造差商表的方法构造埃尔米特插值多项式的思想方法和过程
3 插值余项公式的证明思路
课程类型
新知识理论课
教学方法
结合提问,以讲授法为主
教学过程

问题引入
如果插值条件要求插值多项式与被插函数在某些点的函数值和导数值分别
对应相等,这种插值多项式为埃尔米特(Hermite)插值多项式,构造埃尔米特
插值多项式的方法就是埃尔米特插值法。
§ 埃尔米特插值法
假设待构造的多项式 Hx()需要满足如下插值条件:
' ( )
Hx()ii=== yH , () x i mi i , 0,1,,.L n
因为该插值条件包含 2n+2 个独立等式,所以一定可以确定唯一一个 2n+1 次的
多项式 Hx()满足上述条件。记之为 Hx21n+ ()。

1
构造基函数的方法
类似于拉格朗日插值多项式的构造方法,用具有特殊性质的基函数来构造
埃尔米特插值多项式。利用插值节点构造如下两类特殊的 2n+1 次多项式:
'2
⎧αiiiii()xxxlxlx=−[12( −)( )](),
⎨ 2 in= 0,1,L , ,
⎩βiii()xxxlx=−( ) (),
其中, 是拉格朗日插值多项式的基函数。
lxii (),= 0,1,,,L n
可以验证,αi ()x 和βi ()x 具有性质:
'2 ⎧1,ki= ,
αik()[12(xxxlxlx=− k − iiii )()]() k =⎨
⎩0,ki≠.
α' () =
ik
βik() =
' ⎧1,ki= ,
βik()x = ⎨
⎩0,ki≠.
利用上述性质,构造埃尔米特插值多项式:
n
。
Hx21niiii+ ()=+∑[ yxmxαβ() ()]
i=0
由于是和的线性组合,组合系数为
Hx21n+ () αi ()x βi (),x in= 0,1,,,L
所以称和为埃尔米特插值多项式的基函数,并把上
ymiii,,= 0,1,,,L n αi ()x βi ()x
述求埃尔米特插值多项式的方法叫做构造基函数方法。
例设 f ()xx= ln 。现已知 f ()x 的下列数据:
ff(1)== 0, (2) , f′(2) = .
试用埃尔米特插值法计算 f () 的近似值。
重点讲解基函数的构造和计算过程。

构造差商表的方法
如果插值条件中不仅出现了一阶导数,还出现了高阶导数,那么利用构造差
商表的方法十分有效。方法如下:
(1).在利用插值条件构造差商表时