文档介绍：2010年大学生数学(非数学类)竞赛培训模拟试卷A答案
一、解答下列各题
1. 设且,试求.
解由==,令A=
则 A的特征值为,;对应的特征向量为,
令P= 则有:===
==
于是
2..
解原式=+
=+0=
3. 证明: ,;
解因为当时,,即
故
上式对从1到求和,得
因为
所以
于是
和
即证
另解因为

于是一方面有:
①
另一方面有:

②
综合①②有:
, 计算
解=
==
===
其实:===再利用洛比达法则计算也可.
已知是椭球面的外侧,计算
.
解由高斯公式原式=
由于=+2+
=+0+ 其中
=+
=
利用对称性原式=
二、已知函数在上连续,在内可导,且,证明对于任何正整数,至少存在一点,使得.
证对任何正整数,令,则函数在上连续,在内可导,且,;由中值定理,至少存在一点,; 显然不等于零,
即只有亦即
三、设有椭圆抛物面
和平面
.
(1)试给出和相交的充要条件.
(2)当与相交时,求它们所围成空间形体的体积和被截下部分的面积.
解(1)与相交,当且仅当方程
,整理得
,
该方程有无穷多组解,当且仅当
,或,
此即为与相交的充要条件.
(2)由(1)知在平面上的投影区域为
,
其中.
所求的体积为
.
作坐标变换
,
于是
.
被截下部分的面积为
.
四、证明:
解由于
=
而
有

于是=
=
=
五、证明:(1);
(2).
证(1)由
=
令得.
(2)
于是
.
即证
六、讨论三个平面
,
,
,
的位置关系,画出图形,并说明理由.
解设,,为三个平面的法向量;,,;
记, 则且;
(1)如果,则三个平面重合;
(2)如果,则三个平面平行,且又分两种情况:
①当两两线性无关时,三个平面平行且互异;
②当有两个线性相关时,三个平面平行但其中二平面重合;
(3)