文档介绍：2005年高考数学试卷:稳定仍是命题主流(连载二)
江苏省特级教师何志奇
(刊于05-3-14江西省《数字世界报》)
解读③避开题海力求新意
避开题海,力求新意,体现数学素质对知识的迁移、组合、融汇的不同程度。例如:以数列为背景,设计开放性、探索性问题,考查综合素质和创新能力。考查中学数学开放性、探索性的解题思想方法是近几年高考的显著特点之一。2004年高考数列问题在递推数列问题上对综合素质和创新能力的考查加大了力度,通过这一问题的考查提供给学生分析问题、解决问题的空间,让学生充分展示自己的才华,也使考试充分显示出了明显的梯度。
例5:(2004年北京)给定有限个正数满足条件T:每个数都不大于50且总和L=1275。现将这些数按下列要求进行分组,每组数之和不大于150且分组的步骤是:首先,从这些数中选择这样一些数构成第1组,使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的,r1称为第1组余差;然后,在去掉已选入第1组的数后,对余下的数按第1组的选择方式构成第2组,这时的余差为r2;如此继续构成第3组(余差为r3)、第4组(余差为r4)、……,直至第N组(余差为rN)把这些数全部分完为止。
(I)判断r1、r2、…,rN的大小关系,并指出除第N组外的每组至少含有几个数;
(II)当构成第nn<N组合,指出余下的每个数与rn的大小关系,并证明
rn>
(III)对任何满足条件T的有限个正数,证明:N≤11。
分析与略解:(I)r1≤r2≤…≤rN,除第N组外的每组至少含有个数。
(II)当第n组形成后,因为n<N,所以还有数没分完,这时余下的每个数必大于余差rn,余下数之和也大于第n组的余差rn,即L―[(150―r1)+(150―r2)+…+(150―rn)]>rn,由此可得r1+r2+…+rn-1>150n-L。因为(n-1)rn-1≥r1+r2+…+rn-1,所以
rn—1>。
(III)用反证法证明结论。假设N>11,即第11组形成后,还有数没分完,由(I)和(II)可知,余下的每个数都大于第11组的余差r11,且r11≥r10,故余下的每个数>r11≥r10>。(*)因为第11组数中至少含有3个数,×3=。此时第11组的余差r11=150-第11组数之和<150-=。,这与(*)式中r11>,所以N≤11。
从熟悉情景的考查转向新颖情景的考查,也是高考的侧重点。
例6:(2004年高考广东卷)设函数f(x)=x―ln(x+m),其中常数m为整数。
(1)当m为何值时,f(x)≥0;
(2)定理:若函数g(x)在[a,b]上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0。
试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)=0,在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。
解:(1)函数f(x)=x-ln(x+m)(x∈(-m,+∞))连续,且f'(x)=
令f'(x)=0,得x=1-m
当x∈(-m,1-m)时,f'(x)<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)
当x∈(1-m,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)
由函数极值判别方法,f(1-m)=1-