文档介绍：三维图形学几何
•我们开始进入三维图形学•介绍几何的基本元素
•基础知识: –标量 Scalars
计算机图形学–向量 Vectors
–如何表示基本的几何类型? 几何 Geometry
Computer Graphics –点 Points
–如何在各种表示之间进行转换?
•用坐标系无关的方式定义它们之间的数
第五讲几何对象和变换–几何对象有哪些性质与具体的表示无关? 学运算
•定义基本图元
福州大学软件学院陈昱•掌握一些数学工具可以帮助我们更好–线段
地开发图形程序–多边形
基本几何元素与坐标无关的几何标量 Scalars 向量 Vectors
•几何(Geometry)是在 N 维空间上研究物•当我们开始学习简单几何的时候,绝大多数是从笛卡尔•几何中需要三个基本元素•物理定义:一个向量是有两个属性的量
体之间的关系方法开始学习的
–标量,向量,点–方向
–在计算机图形学中,我们对存在在三维空–点是在空间中的一个定位 p=(x,y,z)
间的物体感兴趣–我们通过这些坐标的代数运算推导出许多关系•标量可以定义为服从一组规则的对象,可–数量
•是否能有一个图元的最小集合,在这个基•这个方法并非是物理的以对标量定义加法和乘法,并且这些运算•向量的例子包括:
础上我们能构建复杂的物体–理论上,点的存在与一个任意的坐标系的位置是无满足一些规则(交换律,结合律,逆元) –力
关的 v
•我们需要三个基本元素•标量的例子包括在通常的运算法则下的实–速度
–绝大多数几何关系是与坐标系统无关的
–标量 Scalars 数和复数集合–有向线段
–向量 Vectors –例如欧几里得几何:两个三角形是相同的,如果它
•图形学上最重要的例子
–点 Points 们的两个对应边和夹角是相同的•标量只有数量,没有几何属性
•可以推导出其他类型
向量运算向量加法线性向量空间向量没有位置
•每个向量有个逆•运算 u + v: •运用向量的数学系统•这些向量是相等的
–数量相同,但指向相反的方向–同一性 0 : v + 0 = v •操作–相同的长度和数量
•每个向量可以乘上一个标量–可逆性-: v + (-v) = 0 –标量-向量乘法: u=αv
–向量的数乘–向量加法遵循“平行四边形法则”: –向量-向量加法: w=u+v
•有零向量
u+v v •表达式形如:
–数量为 0,未定义方向 u -v v=u+2w-3r
v •向量空间对于几何学来说是不够的
αv -v u-v 在向量空间有意义
v -v u –我们还需要点
点 Points 仿射空间 Affine Spaces 直线 Lines 参数形式
•空间中的位置•点+ 一个向量空间= 仿射空间•考虑所有点的形式•这个形式被称为直线的参数形式
–比其他形式更健壮和一般化
•点和向量之间允许操作•运算–P(α)=P0 + α d (-∞< a < ∞)
–向量-向量加法–可以扩展到曲线和曲面
–点与向量的加法是一个点–在向量 d 的方向上通过 P0 点的所有点的
–点与点的减法是一个向量–标量-向量乘法集合,对于α的任何值,求出的函数值•二维形式
–点-向量加法