文档介绍：向量在平面几何中的应用
平面几何中的向量方法
向量的概念和运算,都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后,向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算,这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。
例如,: 平行四边行ABCD中,
设,则
向量的夹角为∠BAD.
,已知平行四边形ABCD中,E、F在对角线BD上,并且BE=FD,求证AECF是平行四边形。
证明:由已知设
即边AE、FC平行且相等,AECF是平行四边形
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果“翻译”成几何元素。
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
简述:形到向量向量的运算向量和数到形
例2. 求证平行四边形对角线互相平分.
证明:如图,已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M,设
则
根据平面向量基本定理知,这两个分解式是相同的,所以
解得
所以点M是AC、BD的中点,即两条对角线互相平分.
,P为对角线AC上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,连接DP、EF,求证DP ⊥EF。
证明:选择正交基底{ }
在这个基底下
设
所以
因此DP⊥EF.
例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
A
B
D
C
已知:平行四边形ABCD。
求证:
解:设,则
分析:因为平行四边形对边平行且相
等,故设其它线段对应向
量用它们表示。
∴