文档介绍：第五章习题几个典型的代数系统
={0,1},试给出半群<AA,>的运算表,其中为函数的复合运算。
={a+bi|a,b∈Z},i为虚数单位,即i2=-。
,在Z上定义二元运算如下:
x,y∈Z,xy=x+y-2
  问Z关于运算能否构成群?为什么?
={x|x∈R∧x≠0,1}.在A上定义六个函数如下:
f1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=1-x,
f4(x)=(1-x)-1,f5(x)=(x-1)x-1,  f6(x)=x(x-1)-1
  令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。
(1) 给出运算的运算表。
(2) 验证<F,>是一个群。
,且存在a∈G,使得 G={ak|k∈Z}, 证明G是交换群。
.
,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。
,证明e为G中唯一的幂等元。
。
={a+bi|a,b∈Z,i2=-1},证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。
.(1) 设R1,R2是环,证明R1与R2的直积R1×R2也是环。
(2) 若R1和R2为交换环和含幺环,证明R1×R2也是交换环和含幺环。
. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。
(1) A={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。
(2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。
(3) A=M2(Z),2阶整数矩阵的集合,运算为矩阵加法和乘法。
(4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。
,证明G中存在元素a和b,a≠b,且ab=ba.
,x∈G,令
xHx-1={xhx-1|h∈H},
   证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。
   
(1) G上的二元运算为矩阵乘法,给出G的运算表
(2) 试找出G的所有子群
(3) 证明G的所有子群都是正规子群。
,K是G的子群,H是K的子群,证明[G:H]=[G:K][K:H].
={Z,+}是整数加群。求商群Z/4Z,Z/12Z和4Z/12Z.
:G1→G2,说明f是否为群G1到G2的同态。如果是,说明G是否为单同态,满同态和同构,并求同态像f(G1)和同态核kerf.
(1) G1=<Z,+>,G2=<R*,·>,其中R*为非零实数的集合,+和·分别表示数的加法和乘法。
f:Z→R*,f(x)=
(2) G1=<Z,+>,G2=<A,·>,其中+和·分别表示数的加法和乘法
A={x|x∈C∧|x|=1},其中C为复数集合。
f:Z→A,f(x)=cosx+i sinx
(3) G1=<R,+>,G2