那么称为正交矩阵.ppt

文档介绍：第六章矩阵的对角化
线性代数
内积和正交矩阵
§ 内积和正交矩阵
一、向量的内积
1. 内积的定义
令
称为向量与的内积.
设有 n 维向量
在定义内积之前,向量之间的运算只定义了加法
与数乘;如果把3维向量空间与解析几何中3维
几何空间(或称欧式空间)相比较,会发现前者
缺少向量的几何度量性质,如向量的长度、两向
量的夹角等,但向量的几何度量性质在许多问题
中有着特殊的地位.
在定义了内积后,3维向量空间与解析几何中3维
几何空间是类似的. 3维向量空间中向量的内积类
似于3维几何空间的向量的数量积. 维向量的内
积可看作是数量积的一种推广.
说明
向量的内积是两个向量之间的另一种运算,其结
果是一个数,用矩阵记号表示,当与为列向
量时,有
2. 内积的性质
⑴
⑵
⑶
⑷当时,
当时,
二、向量的长度
设 n 维向量
令
称为向量的长度(或范数).
当时,称为单位向量.
说明
当时,按此定义的向量的长度与几何空
间中的向量的长度是一致的.
2. 向量的长度的性质
⑴非负性
⑵齐次性
⑶三角不等式
当时, ;
当时, ;
说明当时,三角不等式的几何解释为
证明
3. 两向量之间的夹角
的长度
的长度
与的数量积
与夹角余弦
当时,有
设为维向量,
称为维向量与的夹角.
三、向量的正交性
1. 向量正交
当时,称向量与正交.
说明
显然,若,则与任何向量都正交.
当为2或3维向量时,
正交的几何解释为