文档介绍：§ 内积和正交矩阵一、向量的内积 1. 内积的定义,, 2 12 1?????????????????????????????? n nb b ba a a????令, 2211nnbababa????( , ) ???( , ) ??称为向量与的内积. ??定义设有 n维向量?在定义内积之前,向量之间的运算只定义了加法与数乘;如果把 3维向量空间与解析几何中 3维几何空间(或称欧式空间)相比较,会发现前者缺少向量的几何度量性质,如向量的长度、两向量的夹角等,但向量的几何度量性质在许多问题中有着特殊的地位. ?在定义了内积后, 3维向量空间与解析几何中 3维几何空间是类似的. 3维向量空间中向量的内积类似于 3维几何空间的向量的数量积. 维向量的内积可看作是数量积的一种推广. n 说明?向量的内积是两个向量之间的另一种运算,其结果是一个数,用矩阵记号表示,当与为列向量时,有??( , ) ???? T?.?? T? 2. 内积的性质⑴( , ) ( , ); ??? ??⑵( , ) ( , ), ; ? ? k k k R ?? ??⑶( , ) ( , ) ( , ); ? ??? ??????⑷当时, 0??( , ) 0, ???当时, 0??( , ) 0; ???二、向量的长度 1. 定义设n维向量??????????????? na a a? 2 1?令 2 2 2 1 2 | | ( , ) , ? ????? n a a a ? ??称为向量的长度(或范数). ?| | ?当时,称为单位向量. | | 1 ???说明当时,按此定义的向量的长度与几何空间中的向量的长度是一致的. 32、?n 2. 向量的长度的性质⑴非负性⑵齐次性⑶三角不等式当时, ; 0??| | 0 ??0??| | 0 ??当时, ; | | | | | |, ; ? ? k k k R ? ?| | | | | |. ? ??? ???说明当时,三角不等式的几何解释为 32、?n?????| | ?| | ?| | ?| | ?? ?证明 3. 两向量之间的夹角???的长度??的长度??与的数量积??与夹角余弦???当时,有 0,0????( ) cos , | || | ?, ? ????( , ) os , | || | ??????设为维向量, ??、 n?称为维向量与的夹角. n??三、向量的正交性 1. 向量正交当时,称向量与正交. ( , ) 0 ?????说明显然,若,则与任何向量都正交. 0?x x当为2或3维向量时, ??、??、正交的几何解释为??