文档介绍：§ 15-1 约束·虚位移·虚功
§ 15-2 虚位移原理
例题
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第十五章虚位移原理
动力学
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一. 约束的分类
(1) 约束的定义
当质点或质点系中的某些质点运动时,受到某些事先
给定的几何上或运动学上的限制条件,这些限制条件称为质点或质点系的约束.
例18-1. 圆盘C在粗糙的平面上作纯滚动.
约束是指事先给定的限制条件. 它与作用力, 起始条件以
及运动的其他条件无关.
C
y = R表示圆盘C受到几何上的
限制.
vc = R表示圆盘C受到运动学上的限制.
§ 15-1 约束·虚位移·虚功
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受有约束的质点系为非自由质点系.
约束加于质点或质点系的限制条件,可以利用几何学和运动学知识,写成具体的数学表达式, 这样的数学表达式称为约束方程.
例15-2. 曲柄连杆机构的
约束方程为:
x12 + y12 = r2
(x1 - x2)2 + y12 = l 2
y2 = 0
y
O
A(x1,y1)
B(x2,0)
r
x
l
不受任何约束的质点系为自由质点系,它可以在主动力作用下作空间任意运动
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右图中摆锤A的约束方程为
x2+y2 = l 2
,则必能限制向相反方向运动.
在约束方程中用不等号表示的约束为单
,而不能限制相反方向的运动.
左图中摆锤A的约束方程为
l 2
x2 + y2
x
y
O
A(x,y)
l
O
y
x
A(x,y)
l
(2) 双面约束与单面约束
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如果约束方程中仅包含坐标或坐标与时间的, 或包含坐标
对时间的导数但能积分成有限形式的, 则这种约束称为完整
约束.
ƒ(x1,y1,z1,…xn,yn,zn,t)=0 (=1,2,…,s)
如果在约束方程中不显含时间 t ,既约束不随时间而改
变,.
如左图圆周的半径随时间改变, 约束方程为x2 + y2 = (r + at)2
如果在约束方程中显含时间t , 既约束随时间而改变,.
(4)完整约束与非完整约束
O
(3) 定常约束与非定常约束
5
如果约束方程中不仅含有坐标, 还含有坐标对时间的导数, 且这种含有坐标导数的方程不能积分成有限形式,
因为完整约束方程中仅含坐标, 它表现为对质点系的几
何位置起限制作用, 所以这种约束又称为几何约束.
因为非完整约束方程中包含有速度投影量, 它仅表现为
对质点速度所加的限制, 所以这种约束又称为运动约束.
ƒ(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn; t) = 0
(= 1,2,…,s)
本单元内容只涉及定常的,双面的完整约束.
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解: 由质点距离不变的条件写出M1
和M2的约束方程
(x1 - x2)2+(y1 - y2)2 = l 2
由点C的速度vc必须沿杆的方向的条件写出约束方程
或
o
x
y
c
M1(x1,y1)
M2(x2,y2)
vc
图1-6
例题15-3. 平面上两个质点M1和M2 l 不计质量的刚 性杆连接, 运动中杆中点 C 的速度 质点M1和M2及中点C的约束方程.
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(1)自由度
在完整约束的条件下, 用来确定质点系在空间的位置所
需独立坐标的个数, 称为质点的自由度或自由度.
一个由n个质点组成的质点系在平面内的位置, 在直角坐
,
k=2n - s 个坐标是独立的.
例题18-.
y
O
A(x1,y1)
B(x2,0)
r
x
l
xo= 0 yo= 0 yB= 0
xA2 + yA2 = r2
(xA-xB)2 + yA2 = l 2
k = 23 - 5 = 1
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例题15-5. 求右图所示双摆的自由度.
系统由3个质点组成,
受4个约束
xO= 0 yO= 0
xA2 + yA2 =l12
(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l22
k = 23 - 4 = 2
O
x
y
A(xA,yA)
B(xB,yB)
1
2
9
(2)广义坐标
唯一地确定质点系位置的独立参数,称为广义坐标.