文档介绍：考研数学知识点- 概率统计 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 1 一. 随机事件和概率 1、概率的定义和性质 (1)概率的公理化定义设?为样本空间, A为事件,对每一个事件 A 都有一个实数P(A),若满足下列三个条件: 1° 0≤P(A)≤1, 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件 1 A , 2 A ,…有 ∑∞= ∞= = ???????? 1 1 ) ( i i i i A P A P Υ常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件 A 的概率。 (2)古典概型(等可能概型) 1° {} n ωωωΛ 2 1 , = ?, 2° n P P P n 1 ) ( ) ( ) ( 2 1 = = = ωωωΛ。设任一事件 A ,它是由 m ωωωΛ 2 1 , 组成的,则有 P(A) = {} ) ( ) ( ) ( 2 1 m ωωωΥΛΥΥ= ) ( ) ( ) ( 2 1 m P P P ωωω+ + +Λ n m = 基本事件总数所包含的基本事件数 A = 2、五大公式(加法、减法、乘法、全概、贝叶斯) (1)加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)=0 时,P(A+B)=P(A)+P(B) (2)减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当B ?A 时,P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时,P( B)=1- P(B) (3)条件概率和乘法公式定义设A、B 是两个事件,且P(A)>0,则称) ( ) ( A P AB P 为事件 A 发生条件下,事件B 发生的条件概率,记为= ) / ( A B P ) ( ) ( A P AB P 。条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。 (4)全概公式设事件 n B B B , , , 2 1 Λ满足 1° n B B B , , , 2 1 Λ两两互不相容, ) , , 2 , 1 ( 0 ) ( n i B P i Λ= > , 2° Υ n i i B A 1 = ?, 则有 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( 2 2 1 1 n n B A P B P B A P B P B A P B P A P + + + = Λ。此公式即为全概率公式。 (5)贝叶斯公式设事件 1 B , 2 B ,…, n B 及 A 满足 1° 1 B , 2 B , …, n B 两两互不相容, ) ( Bi P >0, = i 1, 2,…, n , 2° Υ n i i B A 1 = ?, 0 ) ( > A P , 则 ∑= = n j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1 ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ,i=1,2,…n。此公式即为贝叶斯公式。 ) ( i B P ,( 1 = i , 2 , …, n ) , 通常叫先验概率。) / ( A B P i , ( 1 = i , 2,…, n ),通常称为后验概率。如果我们把 A当作观察的“结果”,而 1 B , 2 B ,…, n B 理解为“原因”,则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。 3、事件的独立性和伯努利试验 (1)两个事件的独立性设事件 A 、 B 满足) ( ) ( ) ( B P A P AB P = ,则称事件 A 、 B 是相互独立的(这个性质不是想当然成立的) 。若事件 A 、 B 相互独立,且 0 ) ( > A P ,则有 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( B P A P B P A P A P AB P A B P = = = 所以这与我们所理解的独立性是一致的。若事件 A 、 B 相互独立, 则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立。(证明) 由定义,我们可知必然事件?和不可能事件? 与任何事件都相互独立。(证明) 同时,?与任何事件都互斥。 (2)多个事件的独立性设ABC 是三个事件,如果满足两两独立的条件, 考研数学知识点- 概率统计 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 2 P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C 相互独立。对于n 个事件类似。两两互斥→互相互斥。两两独立→互相独立? (3)伯努利试验定义我们作了 n 次试验,且满足 ? 每次试验只有两种可能结果, A 发生或 A 不