文档介绍：一. 随机事件和概率
1、概率的定义和性质
1）概率的公理化定义
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A) ，若满足下列三个条件：
1° 0≤P(A) ≤1，
2° P( Ω)=P(B)P(C) ； P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、 C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
两两互斥→互相互斥。
两两独立→互相独立？
（ 3）伯努利试验
定义 我们作了 n 次试验，且满足
A 发生或 A 不发生；
◆
每次试验只有两种可能结果，
◆
n 次试验是重复进行的，即
A 发生的概率每次均一
样；
◆
每次试验是独立的，即每次试验
A 发生与否与其他
次试验 A 发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为
n 重伯努利试验。
用 p 表示每次试验
A 发生的概率，则
A 发生的概率为
1 p q ，用 Pn(k ) 表示 n 重 伯 努 利 试 验 中 A 出现
k (0 k n) 次的概率，
二. 随机变量及其分布
1、随机变量的分布函数
（ 1）离散型随机变量的分布率
设离散型随机变量
X 的可能取值为 Xk (k=1,2,
) 且取
各个值的概率，即事件
(X=Xk) 的概率为
P(X=xk)=p k，k=1,2, ，
则称上式为离散型随机变量
X 的概率分布或分布律。有
时也用分布列的形式给出：
X
k
| x1, x2, , xk ,
1
2
k
P( X x ) p , p , , p , 。
显然分布律应满足下列条件：
（ 1） p
k
0 ， k
1,2,
，
（ 2） k
pk
1
1
。
（ 2）分布函数
对于非离散型随机变量，通常有
P( X
x)
0 ，不可
能用分布率表达。 例如日光灯管的寿命
X
P( X
x ) 0
。
，
0
所以我们考虑用 X 落在某个区间 (a, b] 内的概率表示。
定义 设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
称为随机变量 X 的分布函数
P(a X b) F (b) F (a) 可以得到 X 落入区
间 (a, b] 的概率。也就是说，分布函数完整地描述了随机变量 X 随机取值的统计规律性。
分布函数 F (x) 是一个普通的函数，它表示随机变量 落
入区间（– ∞， x] 内的概率。
F (x) 的图形是阶梯图形，
x1 , x2 ,
是第一类间断
点，随机变量 X 在 xk 处的概率就是
F (x) 在 xk
处的跃
度。
分布函数具有如下性质：
1°
0 F (x)
1,
x
；
2°
F (x)
是单调不减的函数，即
x
x
时， 有
1
2
F (x1)
F (x2 ) ；
3°
F (
) lim
F (x)
0
，
x
F ( )
lim F (x)
1；
x
4°
F (x
0)
F (x) ，即 F (x) 是右连续的；
5°
P( X
x)
F (x)
F (x
0) 。
（ 3）连续型随机变量的密度函数
F (x)
定义 设
是随机变量
X 的分布函数，若存在非负函
数 f ( x) ，对任意实数
x ，有
x
F (x)
f (x)dx
，