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第二章稳态导热
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从本章开始将讨论三种热量传递方式的基本规律。分析传热问题基本上是
遵循经典力学的研究方法,即针对物理现象建立物理模型,而后从基本定律导
出其数学描述(常以微分方程的形式表达,故称数学模型),接下来进行分析求解
的理论分析方法。采用这种理论方法,我们就能够达到预测传热系统的温度分
布和计算传递的热流量的目的。
热传导问题是传热学中最易于采用上述方法处理的热传递方式。因此,在
这一章中我们能够针对热传导系统利用能量守恒定律和傅立叶定律建立起相应
的导热微分方程,然后以简单的导热问题为例确立其微分方程和初、边值条件,
从而分析求解其温度分布和热流量,以达到掌握分析简单传热问题的方法。
§2-1 基本概念
1 温度场
温度场是指某一瞬间,空间(或物体内)所有各点温度分布的总称。求解导热
问题的关键之一是得到所讨论对象的温度场,由温度场进而可以得到某一点的
温度梯度和导热量。
温度场是个数量场,可以用一个数量函数来表示。一般说,温度场是空间
坐标和时间的函数,在直角坐标系中,温度场可表示为:
t = f (x, y, z,τ) (2-1)
依照温度分布是否随时间而变,可将温度场分为稳态温度场和非稳态温度
场。稳态温度场指稳态情况下的温度场,这时物体中各点温度不随时间改变,
温度分布只与空间坐标有关:
t = f (x, y, z)
稳态温度场中的导热称为稳态导热,其温度对时间的偏导数为零。
非稳态温度场是指变动工作条件下的温度场,这时物体中各点温度分布随
时间改变。非稳态温度场中的导热称为非稳态导热,其温度对时间的偏导数不
为零。显然,非稳态导热的计算比稳态导热的计算更加复杂。
- 14 - 第二章稳态导热
依照温度在空间三个坐标方向的变化情况,又可将温度场分为一维温度场、
二维温度场和三维温度场。
同一瞬间温度场中温度相同
的点连成的线或面称为等温线或
等温面。在三维情况下可以画出
物体中的等温面,而等温面上的
任何一条线都是等温线。在二维∆x
情况下等温面则变为等温曲线。 x
选择一系列不同且特定的温度
值,就可以得到一系列不同的等
温线或等温面,它们可以用来表
示物体的温度场图。图 2-1 温度梯度与热流矢量、
由于同一时刻物体中任一点等温线(实线)与热流线(虚线)
不可能具有两个温度值,因此不
同的等温线或等温面不可能相交。等温线要么形成一个封闭的曲线,要么终止
在物体表面上。
物体中等温线较密集的地方说明温度的变化率较大,导热热流密度也较大。
温度的变化率沿不同的方向一般是不同的,如图 2-1 所示。温度沿某一方向 x
的变化率在数学上可以用该方向上温度对坐标的偏导数来表示,即
∂tt∆
= lim (2-2)
∂x ∆→x 0 ∆x
在各个不同方向的温度变化率中,有一个方向的变化率是最大的,这个方
向是等温线或等温面的法线方向。在数学上用矢量—梯度来表示这个方向的变
化率:
∂t
gradt = n (2-3)
∂n
∂t
式中 gradt 表示温度梯度; 为等温面法线方向的温度变化率;n 为等温面法
∂n
线方向的单位矢量, 指向温度增加的方向。
温度梯度是矢量, 其方向为沿等温面的法线指向温度增加的方向, 如图 2-1
所示。在直角坐标系中,温度梯度可表示为:
∂t ∂t ∂t
gradt = i + j + k (2-4)
∂x ∂y ∂z
第二章稳态导热- 15 -
∂t ∂t ∂t
其中, , 分别为温度对 x, y, z 方向的偏导数;i, j, k 分别为 x, y, z 方
∂x ∂y ∂z
向的单位矢量。若引入哈米尔顿(Hamilton)算子∇:
∂∂∂
∇= i + j + k (2-5)
∂x ∂y ∂z
则:
gradt = ∇t (2-6)
2 傅里叶定律
由第一章可知,当物体内部存在温度梯度时,能量就会通过热传导从温度
高的区域传递到温度低的区域。热流密度定义为单位时间通过单位面积的热流
量,用 q 来表示,单位为 W/m2。经验发现,热流密度和垂直传热截面方向的温
度变化率成正比。热流密度也是矢量,其方向指向温度降低的方向,因而和温
度梯度的方向相反。傅里叶定律的一般形式为:
∂t
q = −λ gradt = −λ n (2-7)
∂x
式(2