2009年第一届全国大学生数学竞赛决赛非数学试卷.doc

文档介绍：首届全国大学生数学竞赛决赛试卷
(非数学类,2010)
考试形式: 闭卷考试时间: 150 分钟满分: 100 分.
计算下列各题(共20分,每小题各5分,要求写出重要步骤).
(1) 求极限.
(2) 计算,其中为下半球面的上侧,.
(3) 现要设计一个容积为的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积元,:即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少?
(4) 已知在内满足,求.
二、(10分)求下列极限
(1) ; (2) , 其中.
三、(10分)设在点附近有定义,且在点可导, . 求.
四、(10分)设在上连续,无穷积分收敛. 、(12分)设函数在上连续,在内可微,且. 证明:(1) 存在使得;(2) 存在使得.
六、(14分)设为整数,
.
证明: 方程在内至少有一个根.
七、(12分)是否存在中的可微函数使得?若存在,请给出一个例子;若不存在,请给出证明.
八、(12分)设在上一致连续,且对于固定的,当自然数时. 证明: 函数序列在上一致收敛于0.