文档介绍：第一部分统计基础与概率计算(共10题,10分/题)
某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件就是相互独立的,且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。试求她途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值与方差、标准差。
解:读题可知每个路口遇到红灯的概率就是P=24／(24+36)=0、4
假设遇到红灯的次数为X,则,X～B(3,0、4),概率分布如下
0次遇到红灯的概率P0=(1-0、4)3=0、216
1次遇到红灯的概念P1=(1-0、4)2*0、4=0、432
2次遇到红灯的概念P2=(1-0、4)*0、42=0、288
3次遇到红灯的概念P3=0、43=0、064
期望:E(x)=nP=0、4*3=1、2
方差:D(X)=δ2=nPq=0、4*3*(1-0、4)=0、72
标准差:
2、一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人,据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。保险费每人50元。若一年中死亡,则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来一年该保险公司将在该项保险中(这里不考虑保险公司的其它费用):
(1)至少获利50万元的概率;
(2)亏本的概率;
(3)支付保险金额的均值与标准差。
解:设被保险人死亡数为X,X～B(20000,0、0005)
总收入为2万×50=100万,要获利至少50万,则赔付的保险金额应该不超过50万,也就就是被保险的人当中死亡人数不能超过10人,精确点就就是用二项分布来做,但就是由于20000这个数比较大,就可以用正态近似来做,就就是认为死亡人数服从与原二项分布的均值方差相同的正态分布,结用正态函数表示。概率为P(X≤10)=0、58304
(2)亏本的概率就就是死亡人数大于20人的概率,思路如上
P(X＞20)=1-P(X≤20)=0、00158
(3)支付保险金额的均值＝50000×E(X)＝50000×np=50000×20000×0、0005(元)＝50(万元)
支付保险金额的标准差＝50000×σ(X)＝50000×[np(1-p)] 1/2=50000×(20000×0、0005×0、9995)1/2＝158074(元)
3、对题2的资料,试问:
(1)可否利用泊松分布来近似计算？
(2)可否利用正态分布来近似计算？
(3)假如投保人只有5000人,可利用哪种分布来近似计算？
解:
(1)由于泊松分布的特点为,当二项分布的n很大而p很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中λ为np。通常当n≧10,p≦0、1时,就可以用泊松公式近似得计算
λ= np=20000×0、0005=10
P(X≤10) =P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=10)=010λkk！e-λ=、58304
比较两题的结果,可以知道泊松分布适用于此题。
(2)可以。尽管p很小,但由于n非常大,np与np(1-p)都大于5,二项分布也可以利用正态分布来近似计算。本例中,np=20000×0、0005=10,np(1-p)=20000×0、0005×(1-0、0005)=9、995,即有X～N(10,9、995)。相应的概率为:P(X≤10、5)＝0、51995,P(X≤20、5)＝0、853262。可见误差比较大。